Психология процесса изобретения в математике

117. Эти примеры Ферма и Римана относятся к арифметике. Арифметика, хотя с неё начинают преподавание в младших классах школы, оказывается одной из самых трудных (если не самой трудной) из математических наук, когда пытаются в неё углубиться. Существенные результаты в арифметике получают обычно тогда, когда арифметические вопросы сводят к высшей алгебре и к анализу бесконечно малых. (Арифметика у французских и немецких авторов часто применяется как синоним теории чисел. — Прим. ред.).

118. Заметим, что на примере этого открытия Римана вновь можно наблюдать разницу между двумя видами интуиции, которые Пуанкаре считал идентичными. Вообще говоря, Риман обладал интуицией в высшей степени геометрического характера, как это отмечал Пуанкаре, однако в работе о простых числах, где интуиция Римана достигает вершин глубины и таинственности, геометрические элементы не играют существенной роли.

119. Есть основания полагать, что дуэль, на которой был убит Галуа, была подстроена полицией. — Прим. ред.

120. Случай покажется ещё более странным, если заметить, что на той же 216 странице третьего тома, всего несколькими строками выше, Пуанкаре пишет: «Это исследование связано с трудным вопросом о второй вариации».

Однако в теории Вейерштрасса, т. е. в нашем современном вариационном исчислении, нет вопроса о второй вариации — она совершенно не используется.

Таким образом, на этой странице «Новых методов» получилось любопытное противоречие. Упоминание о «второй вариации» сделано человеком, который представления не имеет о новой теории. С другой стороны, Пуанкаре, показал, что он её вполне себе представлял, когда формулировал своё условие (А) (такую форму он придал условию Вейерштрасса). Однако до появления новой теории никто не думал о вещах такого рода: знали лишь классическое, но не столь адекватное «условие Лежандра».

Следует ли сделать заключение, что Пуанкаре испытал своего рода раздвоение личности?

121. Renan, "L'Avenir de la Science", p. 115. (см. рус. перевод: Эрнест Ренан, «Будущее науки», т.1–2, Киев, 1902, изд. К. Б. Фукс).

122. Для специалистов: это была «теорема композиции».

123. Это та самая теория, мимо которой я прошёл, «не заметив её», как я рассказывал об этом в гл. IV. Утешением для моего самолюбия было лишь то, что я дал звено, оказавшееся необходимым для выводов Фредгольма.

124. Небольшая неточность автора: задача о брахистохроне была поставлена и решена Иоганном Бернулли (а также Лейбницем, Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем) в конце XVII века. — Прим. ред.

125. Рассматривая один из вопросов аналлагматической геометрии (см. гл. IV), я недооценил его красоты и не уделил ему в достаточной мере внимания.

126. "The Art of Thought", стр. 206–210. Уоллас указывает на тот факт, что очень крупные учёные не стремятся к оригинальности, им это не нужно. Он говорит, что для них «в моменты работы устанавливается гармония между интенсивной деятельностью всей высшей и низшей нервной системы, с одной стороны, и сознательным волевым усилием, с другой».

127. Точка зрения, аналогичная той, которая высказывается нам в этой работе, изложена в недавно выпущенной брошюре Харди (Г. Г. Харди « Апология математика»). Хотя он и не даёт полного определения красоты (или «серьёзности», как он это называет) математического вопроса или результата, — определения, которое, естественно, должно учитывать и эстетическую сторону дела, — но Харди очень тонко и глубоко анализирует вопрос об условиях, которые должны быть соблюдены при таком определении.

Он рассматривает также вопрос о том, что влияет на исследователя. Он указывает три важных мотива и первым из них является, естественно, желание узнать истину. По причинам, о которых я говорил, я больше чем он отстаиваю положение, что именно этот мотив преобладает и даже необходим.

128. Случайно ли сходство эволюции идей у греческих философов и у мыслителей нашей эры по вопросу о словах и о мышлении без слов, и не проявляется ли в этом какой-то общий закон эволюция мышления? Естественно, этого нельзя утверждать, основываясь лишь на двух приведённых примерах. Но если бы это было доказано, такой факт был бы многозначителен. Возможно, что большой интерес представляет изучение этой проблемы в азиатской, или в арабской философии (особенно испанского периода).

129. Примерно соответствует сдаче кандидатского минимума по специальности. — Прим. ред.