Путеводитель по лжи

Для начала нарисуем нашу табличку, состоящую из четырех частей, и впишем все данные: женщина, у которой на самом деле есть рак молочной железы, и женщина, у которой его нет. И результаты анализа: что рак есть или что его нет. Чтобы нам было легче считать, давайте возьмем круглое число: предположим, речь идет о 10 тысячах женщин[114].

Это размер генеральной совокупности, поэтому записываем это число внизу справа, вне нашей таблицы.

В отличие от примера с гамбургером и кетчупом, сначала мы записываем данные на полях, потому что именно этой информацией располагаем. Вероятность того, что у женщины рак, равна 0,8 %, иными словами, он у 80 женщин из 10 тысяч. Записываем эти данные на полях справа вверху (мы еще не знаем, как заполнять ячейки таблицы, но скоро узнаем). А так как нам известно, что общая сумма равна 10 тысячам, получается такая сумма по второй строке:

10 000 – 80 = 9920.

Нам сказали, что вероятность положительного результата анализа, если рак все-таки есть, равна 90 %. А так как всего процентов 100, вероятность того, что анализы не покажут положительный результат при наличии рака, высчитывается так: 100 % – 90 % и, выходит, равна 10 %.

Что касается 80 женщин, у которых действительно есть рак молочной железы (запись на полях справа вверху), мы можем сказать, что теперь нам известно, что у 90 % из их общего числа результаты будут положительными (90 % от 80 равно 72), а у 10 % результат будет отрицательным (10 % от 80 равно 8). Это все, что нам нужно знать, чтобы заполнить клеточки таблицы в верхней строке.

Мы пока еще не готовы сделать все необходимые вычисления для ответа на вопрос «Какова вероятность того, что у пациентки рак молочной железы при условии, что анализ дал положительный результат?», потому что нам еще нужно узнать, у какого количества людей результаты анализов положительны. А недостающая часть этого пазла кроется в изначальном описании ситуации: у 7 % женщин, у которых нет рака молочной железы, анализы все равно покажут положительный результат. Число на полях возле нижней строки говорит о том, что у 9920 женщин рака нет; 7 % от этого числа составляет 694,4 (округлим до 694). А это значит, что в нижнюю правую ячейку таблицы нужно занести число 9920 – 694 = 9226.

И, наконец, подсчитываем суммы по столбцам.

Если вы относитесь к тем миллионам людей, которые полагают, что наличие положительного результата анализов означает, что они точно больны, то вы ошибаетесь. Условная вероятность того, что у человека рак молочной железы, при условии, что результаты анализов были положительны, подсчитывается так: делим показатель левой верхней ячейки на итог под левым столбцом, это 72/766. Хорошая новость в том, что даже с положительной маммографией вероятность того, что у вас на самом деле есть рак молочной железы, равна 9,4 %. Все объясняется тем, что заболевание достаточно редкое (оно встречается менее чем в одном случае из тысячи), а аппараты, с помощью которых проводят диагностирование, неидеальны.

Условные вероятности не работают в обратном направлении

Мы со школы привыкли к тому, что в математике существует определенная симметрия: если x = y, то y = x. 5 + 7 = 7 + 5. Но так бывает не всегда, как мы убедились ранее на примере дискуссии о значениях вероятности (если вероятность ложной тревоги равна 10 %, это не значит, что вероятность того, что беда все же произойдет, равна 90 %). Посмотрите на статистику:

В супермаркетах продают яблок в десять раз больше, чем на придорожных развалах.

Если немного подумать, то станет очевидно, что вы не обязательно найдете яблоко в супермаркете в тот день, когда вам его захотелось: в магазине может быть в десять раз больше посетителей, чем на придорожном развале, и он может не справляться с возросшим спросом на данный товар. Если вы заметите случайно проходящего по улице человека с яблоком и у вас нет никакой информации о том, где он его взял, то вероятность того, что яблоко было куплено в супермаркете, нежели на развале, выше.

Может возникнуть вопрос: какова вероятность того, что человек купил это яблоко именно в супермаркете, при условии, что у него вообще есть яблоко?

P (был в супермаркете | нашел яблоко, которое хочет купить).

Это не то же самое, как в случае, если бы вам страшно хотелось яблоко сорта медуница:

P (нашел яблоко, которое хочет купить | был в супермаркете).