Путеводитель по лжи

Относительная заболеваемость пневмонией на территории Соединенных Штатов в год составляет около 2 % – 6 миллионов человек из 324 миллионов населения страны получают этот диагноз каждый год (безусловно, сюда не входят многочисленные случаи, когда диагноз поставить не удается, а также такие ситуации, когда человек в течение года болеет пневмонией не один раз, но мы пока не об этом)[111]. Получается, что вероятность того, что случайно выбранный для опроса человек болен пневмонией, равна приблизительно 2 %. Но мы получим более точную оценку, если будем знать хоть что-то об этом конкретном человеке. Если вы пойдете к доктору и скажете, что у вас температура, кашель и заложена грудь, то уже не будете отобраны для опроса случайно – ведь вы пришли к доктору за помощью и жалуетесь на эти симптомы. Вы можете постепенно уточнить свою уверенность в чем-либо (например, что у вас пневмония), получая все новые и новые свидетельства. Мы используем правило Байеса для вычисления условной вероятности: какова вероятность того, что у меня пневмония, при условии наличия у меня симптома x?[112] И чем большим количеством информации вы будете обладать, тем вернее будут уточнения такого рода. Какова вероятность того, что у меня пневмония, при условии, что: 1) у меня все эти симптомы; 2) в семейном анамнезе это не первый случай; 3) я только что провел три дня рядом с человеком, больным пневмонией? Вероятность увеличивается и увеличивается.

Вы можете подсчитать вероятности, используя формулу Байеса (см. приложение), но гораздо проще и нагляднее это сделать с помощью таблички, состоящей из четырех частей и описывающей все возможные сценарии: вы заказали или не заказали гамбургер и вы получили или не получили кетчуп:

На основании экспериментов и наблюдений вы вписываете различные значения – частоту каждого события. Из 16 посетителей ресторана, обедавших в тот момент, был только один, который заказал гамбургер, и ему принесли кетчуп, а также было два случая, когда кетчуп не принесли. Эти данные идут в левый столбец:

Аналогичным образом поступаем в ситуации, когда пятеро не заказывали гамбургер, но получили кетчуп, а восемь человек, которые не заказывали гамбургер, не получили кетчуп. Эти данные записываем в правый столбец:

А дальше вы просто складываете числа в строках и столбцах:

Теперь подсчет вероятностей стал делом простым. Если вы хотите узнать вероятность того, получите ли вы кетчуп при условии, что заказывали гамбургер, тогда начинайте с условия. Ему соответствует левый столбец.

Трое посетителей заказали гамбургеры – это сумма, указанная в самом низу. Теперь попытаемся подсчитать вероятность того, что вы получите кетчуп при условии, что заказывали гамбургер. Теперь мы смотрим на клеточку «Да, получили кетчуп» в столбце «Да, заказали гамбургер», там стоит число 1. Условная вероятность P (кетчуп | гамбургер) тогда равна одной трети. И вы можете понимать это так: трое посетителей заказали гамбургер, один получил кетчуп, а двое нет. В данном виде подсчетов мы никак не задействуем правый столбец.

Мы можем использовать этот метод, когда нужно подсчитать любую условную вероятность, даже вероятность того, получите ли вы кетчуп при условии, что не заказывали гамбургер: 13 посетителей ресторана не заказывали гамбургер, пять из них при этом получили кетчуп – это значит, что вероятность равна 5/13, или около 38 %. В этом конкретном ресторане вероятность того, что вы получите кетчуп, даже не заказывая гамбургер, гораздо выше, чем если бы вы его заказывали. (А теперь давайте включим критическое мышление. Как такое могло случиться? Может, данные взяты в ситуации, когда посетители заказывали картофель фри? Или, может, все гамбургеры изначально подавались с кетчупом?)

Принятие решений в медицине

Этот способ визуализации условных вероятностей очень полезен для принятия решений в медицине. Если вы сдаете медицинский анализ и его результат указывает на заболевание, какова вероятность того, что у вас оно и правда есть? Это не 100 %, потому что сами способы проведения анализов неидеальны – они дают ложные положительные результаты (сообщают, что у вас выявлено заболевание, когда его нет) и ложные отрицательные (сообщают, что у вас нет заболевания, когда на самом деле оно есть).

Вероятность того, что у женщины есть рак молочной железы, равна 0,8 %[113]. Если рак молочной железы есть, то вероятность того, что маммография его покажет, равна только 90 %, так как сам аппарат неидеален и, бывает, идентифицирует не все случаи заболевания. Если же у женщины нет рака молочной железы, вероятность положительного результата равна 7 %. А теперь предположим, что у женщины, выбранной для опроса случайно, тест показал положительный результат, – какова вероятность того, что у нее и правда рак молочной железы?