Расчет нефтяных аппаратов методом конечных элементов

Объединяя тетраэдрические элементы можно разбивать пространство на «кирпичики». В этом случае повышается наглядность разбиения.

О. Зенкевич сообщает [33,с.115] о расчете сосуда высокого давления МКЭ с использованием конечных элементов в виде «кирпичиков». В приводимом примере расчета выполнялся для 10000 степеней свободы. И Зенкевич указывает на то, что при применении более сложных конечных элементов расчет упрощается за счет уменьшения степеней свободы. Но использование сложных элементов не даст преимуществ в сокращении времени подготовки расчета, если процесс разбиения автоматизирован [33,с.169]. В настоящее время в программных пакетах МКЭ используется автоматизированное построение расчетной сетки. При этом при применении сложных элементов сокращается время вычислений, однако ширина матрицы увеличивается и сокращение времени может не происходить. Увеличение размеров конечных элементов приводит к ухудшению аппроксимации конструкции.

5.3 Расчет колебаний аппаратов по МКЭ

Для решения задач колебаний колонных аппаратов необходимо учитывать зависимость изменения рассчитываемых параметров во времени.

Используется эквивалентная статическая задача, в которой каждый момент времени дискретизируется. Распределенная сила может быть заменена эквивалентной.

Для оболочек, как отмечает Зенкевич [33,с.352], записывается матрица масс конечных элементов (для плоских и изгибных напряжений), по которой находится общая матрица масс. Матрица масс строится аналогично матрице жесткости. Зенкевич на этом основании заключает, что решение задачи о колебаниях оболочек не вызывает затруднений.

В работе [38,с.176] Зенкевич отмечает, что введение инерционных членов в статическую задачу не усложняет решения. После вычисления матрицы масс элементов, задача принимает вид стандартной системы с конечным числом степеней свободы.

Для оболочки, совершающей перемещения (движение) динамическая задачи переводится в статическую задачу приложением сил от ускорения (по принципу д’Аламбера).

5.3.1 Колебания без затухания

Зенкевичем и Чангом показано [38,с.176] расчет упругой конструкции в условиях статической нагрузки описывается уравнением:

В этом уравнении [K] – матрица жесткости объединенной конструкции, {δ} – матрица всех узловых смещений, {Р} – матрица всех узловых нагрузок.

{F}_p – силы в узлах от распределенных нагрузок, см. [38,с.176],

{F}_ε0 – силы в узлах от начальной деформации, см. [38,с.21].

Матрица динамических сил в узлах [38,с.176]:

Матрица распределенной нагрузки [38,с.177]:

Распределенная нагрузка выражается в виде эквивалентных узловых сил [38,с.177]:

После подстановки в первоначальное уравнение [38,с.177]:

Матрица внешних масс, прикладываемых к узлам сетки [38,с.177]:

Матрица масс, объединяющая матрицы масс конечных элементов [38,с.177]:

5.3.2 Колебания с затуханием

При колебаниях с затуханием первоначальное уравнение записывается в виде [38,с.186] ([С] – матрица затухания колебаний):

Матрица затухания колебаний [С] находится аналогично матрице масс [М].

Для внешней силы можно записать [38,с.186]:

C учетом этой записи получается форма решения в виде [38,с.186]:

Первоначальное уравнение, решенное относительно {δ₀} [38,с.186]:

Из последнего уравнения записывается система двух уравнений [38,с.187]:

с учетом записи {δ₀} является комплексным и [38,с.186]:

Реакция конструкции с затуханием колебаний на периодическое воздействие силы с угловой частотой ω находится решением системы уравнений [38,с.187].

Получение n собственных величин и {δ’₀}_I собственных форм колебаний получается решением уравнения [38,с.178]:

5.3.3 Свободные колебания

В случае свободных колебаний, уравнение, указанное для колебаний без затухания записывается в виде [38,с.178]:

Колеблющаяся конструкция представляет собой систему с конечным числом степеней свободы. Каждая точка конструкции движется в заданной фазе [38,с.178]:

Уравнение для задач на собственные колебания [38,с.178]:

Для угловой частоты ω получится n значений при размерах матриц [K] и [M] nxn.

Каждая частота свободных колебаний ω связана со своей модой {δ0}. В модах установлены соотношения узловых смещений, но отсутствуют их значения [38,с.178].

Задача на собственные значения записывается в виде [38,с.178]:

Так как – по данным [38,с.179]

-

по данным

[38,с.179]

Определяются значения λ для основных периодов и по ним находятся формы колебаний {Z}, а затем формы мод {δ₀} [38,с.179].

5.4 Реализация расчета по МКЭ

Под расчетом по методу конечных элементов понимается вычислительный процесс на компьютере, состоящий из [26,с.6]:

– описания конечных элементов, численного интегрирования для вычисления элементов матриц,

– объединение матриц отдельных конечных элементов в общую матрицу ансамбля элементов,

– численное решение системы уравнений равновесия.