Расчет нефтяных аппаратов методом конечных элементов

3. Поэтому расчеты МКЭ необходимо выполнять с пространственными конечными элементами с математическим аппаратом трехмерной задачи теории упругости. Корпус аппарата должен рассматриваться как трехмерное тело.

4. МКЭ в сравнении с нормативной методикой позволяет получить более точные и обоснованные результаты для оценки конструкции аппарата.

5. Представление данных результатов по МКЭ в виде цветной диаграммы детализировано показывает напряженное состояние во всех частях конструкции и является в настоящий момент наиболее наглядным инструментом.

6. По МКЭ можно выполнять расчет на прочность, жесткость, колебания аппарата, т.е. на все виды нормативных нагрузок, а также расчет ползучести металла.

5 Расчет МКЭ по теории упругости и теории оболочек, расчет колебаний

Уравнения в решение по методу конечных элементов могут быть заложены на основе теории тонких оболочек и на основе уравнений теории упругости.

Проблема сравнения конечных элементов имеет два аспекта:

1. сравнение самих теорий по точности и адекватности описания,

2. сравнение конечных элементов на основе двух теорий по точности результатов расчета конкретных задач и эффективности вычислений.

__

Для решения первого аспекта сравнение теорий выполнено в главе 4.

Для решения второго аспекта приведем литературные данные по применению конечных элементов по двум теориям.

__

5.1 Решение осесимметричной задачи теории упругости по МКЭ

В работах [32,с.230], [33,с.89] при рассмотрении решения МКЭ осесимметричной задачи теории упругости (т.е. расчета оболочек вращения) приведена классическая для теории упругости схема выделенного из стенки сегмента с отсутствием касательных напряжений по боковым граням:

По данным [32,с.229], [33,с.89] для решения осесимметричной задачи может быть использован подход плоской задачи. В этом случае треугольный симплекс-элемент вращением образует треугольный тор [32,с.229]. Такой тор показан на рисунке в работе О. Зенкевича [33,с.87]:

Объемное тело 3D-модели представляет собой объем, по которому берется интеграл таких треугольных элементов. Отличие осесимметрричной задачи от плоской состоит в том, что при деформации оболочки в радиальном направлении вызывает деформацию в окружном направлении. И в рассмотрение должна быть введена четвертая компонента деформации и напряжения по сравнению со случаем плоской задачи [33,с.88]. В плоской задаче компоненты напряжения в направлении, перпендикулярном к координатной плоскости, равны нулю.

Трехмерный симплекс-элемент рассматривается аналогично двумерному конечному элементу [32,с.226].

Векторы напряжений и деформаций и матрица упругости по данным [32,с.229]:

Вектор начальной деформации от теплового воздействия [32,с.230]:

Напряжения вычисляются по закону Гука [32,с.233]:

или через узловые перемещения после подстановки

([В] – матрица градиента, {U} – перемещение узлов.

__

О. Зенкевич приводит подход [33,с.259] о применении одномерных элементов для осесимметричных оболочек к осесимметричной нагрузкой. В этом случае используется метод перемещений и поверхность оболочки разбивается на ряд усеченных конусов [33,с.259]:

Изгибные и мембранные напряжения в оболочке корпуса аппарата однозначно определяются величинами обобщенными деформациями (искривления и растяжения срединной поверхности) [33,с.259]. Перемещения каждой точки срединной поверхности известны. Так, перемещения срединной поверхности оболочки под действием осесимметричной нагрузки однозначно определяются компонентами u и w по касательной к нормали поверхности.

О. Зенкович [33,с.259] приводит следующую запись матриц перемещений {ε}, напряжений {σ} и упругости [D] в соответствии с четырьмя результирующими напряжениями на рисунке при φ = const (верхняя часть матриц соответствует мембранным усилиям, нижняя часть матриц соответствует изгибным жесткостям, сдвиговые части матриц не показаны):

5.2 Решение пространственной (трехмерной) задачи теории упругости по МКЭ

В решении трехмерной задачи теории упругости оболочка рассматривается как объемное тело и для построения расчетной сетки применяются трехмерные конечные элементы. Самым простым из трехмерных элементов является элемент тетраэдрической формы.

Тетраэдральные конечные элементы приведены в [34,с.309]. Галагер отмечает [34,с.314], что правильное расположение тетраэдров без пустот по объемному телу вызывает затруднения и поэтому программа комбинирует элементы из пяти тетраэдров:

Перемещения тетраэдрического элемента определяется перемещением 12 компонентами перемещений его узлов [33,с.107]:

(вектор перемещений точки, определяемый компонентами u, v, w )

Матрица деформаций [33,с.108]:

Матрица тепловых деформаций [33,с.109] (θ^ε – средняя температура элемента):

Матрица упругости [33,с.109]:

Матрица напряжений [33,с.109] ({σ₀ – аддитивный член}):