Разыскания истины

Так, если мы знаем, например, что тело, бывшее в точке А в такой-то момент, находится в другой момент в точке Е и .что различные силы толкают его по линиям, образующим данный угол, именно ВАС, то этого достаточно, чтобы найти линию его составного движения и различные степени скорости движений, — раз нам известно, что эти движения равны между собою или равномерны. Ибо, когда нам даны две точки на прямой линии, она дана нам вся. Прямую линию АЕ, или составное движение, которое известно нам, можно тогда сравнить с линиями АВ и АС, т. е. с простыми движениями, нам неизвестными.

Предположим опять-таки, что камень движется от А' к В и его движение равномерно (рис. 3), но в то же время он спускается к точке С, бесконечно далекой от точки А, и движение это не равномерно, т. е. это такое движение, которое, как принято думать, наблюдается при падении тяжелых тел, а именно: пространства, пробегаемые этим камнем, относятся друг к другу, как квадраты времен, в которые он их проходит. Тогда линия, описываемая камнем, неизбежно будет параболой, и можно с полною точностью определить точку, в которой будет находиться камень в известный момент своего движения.

Ибо если в первый момент это тело упадет на два фута от А к С, во второй — оно будет ниже на шесть футов, в третий — на

1 См. следующий чертеж (рис. 3).

477

десять, в четвертый — на восемнадцать, и если его движение от А к В, находящемуся на расстоянии шестнадцати футов, равномерно, то, очевидно, линия, описываемая им, будет параболой, параметр которой равняется восьми футам. Ибо квадрат, построенный на ординате (перпендикулярной к диаметру), изображающей время и движение от А к В, будет равен прямоугольнику, построенному на параметре и линии, изображающей неравномерное и ускоренное движение, т. е. квадраты времен будут относиться друг к другу, как части диаметра, заключенные между полюсом и координатами:

16 : 61 :: 2 : 8

64 : 144 :: 8 : 18 и т. д.

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть чертеж шестой (см. рис. 3). Ибо полукруги показывают, что А2 относится к А4, т. е. к координате 1х, ей равной, как 1х относится к А8, что А 18 относится к А 12, т. е. к координате 18х, как 18х относится к А8 и т. д.; значит,

произведения А2 на А8 и А 18, умноженное также на А8, равны квадратам 1х и 18;с и т. д., и следовательно, эти квадраты относятся, как эти прямоугольники.

Параллельные, проведенные к АД и АС и пересекающиеся в точках хх • х, также показывают наглядно путь, по которому должно идти это тело. Они показывают те точки, где оно должно быть в данное время. Они, наконец, представляют глазу действительную величину составного движения и его ускорение в известное

время.

Предположим опять-таки, что тело движется неравномерно не только от А к С, но и от А к В. Если неравномерность этого движения остается все время одинаковою, т. е. если неравномерное движение этого тела к С подобно движению его к В или если это движение усиливается в одинаковой пропорции, тогда тело описывает прямую линию.

Но предположим, что ускорение или уменьшение простых движений идет не равномерно — причем безразлично, какое неравен-

Рис. 3.

478

Рис.4.

ство мы не предположили бы — тогда стоит обозначить простые движения линиями и провести к этим линиям пересекающиеся параллельные — и мы найдем легко линию, которая представит воображению составное движение движений простых. Ибо линия, проходящая через две точки пересечения параллельных линий, представляет составное движение этих неравных движений, не в равной мере ускоряющихся или замедляющихся.

Например, предположим, что какое-нибудь тело приводится в движение двумя равными или не равными — как угодно — силами;

что одно из этих движений постоянно ускоряется или замедляется в геометрической или арифметической — какой угодно — прогрессии и что другое движение также ускоряется или замедляется в арифметической или геометрической — как угодно — прогрессии. Теперь, чтобы найти точки, через которые должна пройти линия, представляющая зрению и воображению составное движение этих простых движений, вот что нужно сделать.

Прежде всего, как было уже сказано, надо провести две линии АВ и АС (рис. 4), чтобы обозначить оба простых движения, и разделить эти линии, согласно предположенному ускорению этих движений. Если мы предположили, что движение, обозначенное линией АС, ускоряется или замедляется в арифметической прогрессии 1, 2, 3, 4, 5, тогда на этой линии надо отметить деления в указанных точках 1, 2, 3, 4, 5. Если мы предположили, что движение, обозначаемое линией АВ, увеличивается в двойной прогрессии 1, 2, 4, 8, 16 или уменьшается в прогрессии половинной 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, нужно отметить на этой линии деления 1, 2, 4, 8, 16 или 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8. Затем из этих делений следует провести параллельные к АВ и АС. Линия АЕ, которая должна обозначать искомое составное движение, необходимо пройдет через две точки, где пересекаются эти параллельные линии. Таким образом, мы увидим путь, по которому должно идти данное движущееся тело.

479