Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Аполлоний Пергский (ок. 262 — ок. 190 до н.э.) систематизировал изучение кривых, называемых коническими сечениями, которым он дал их сегодняшнее название. Конические сечения определяются пересечением плоскостью конуса под разными углами. Можно доказать, что, кроме случаев вырожденных сечений, все виды конических сечений можно свести к следующим случаям. Если пересечь конус параллельно образующей, результатом сечения будет парабола; если угол между плоскостью и осью конуса больше, чем угол при образующей, получается эллипс; когда секущая плоскость перпендикулярна оси — окружность; наконец, если плоскость пересекает обе полости конуса, мы видим гиперболу. Свойства, сформулированные математиком из Перге, позволили каждой из них иметь определяющую характеристику, которая отличает ее от всех остальных конических сечений и выражена в виде пропорции. Именно на основе этих характеристик Декарт и Ферма строили свое изучение соответствующих уравнений.

Окружность

Эллипс

Парабола

Гипербола

В сравнении с трудоемким начертательным методом греческих геометров аналитическая геометрия была чрезвычайно мощным методом решения задач. Это как раз доказал Ферма, взявшись за некоторые теоремы Паппа, которые до этого никто не мог доказать, а также занявшись задачей Галилея и поправив самого тосканского ученого. В то время как Галилей думал, что пушечное ядро, падающее к центру Земли, движется по круговой траектории, Ферма выяснил, что данная траектория является спиралью. Галилей в переписке с Ферма согласился с его поправкой.

Между тем работа Декарта в этой области хотя и привела к крайне богатым результатам, была им заброшена. Он хотел показать новый образ мысли, а не находить новые математические результаты. Парадоксально, что в 1637 году, когда математическая карьера Ферма едва только начиналась, Декарт по собственной воле заканчивал свою. Опубликованная им "Геометрия" была частью книги, содержащей три научных трактата, которым предшествовало знаменитое "Рассуждение о методе". Она в глазах самого Декарта была только иллюстрацией того метода, что он открыл, неоспоримым доказательством силы его философии. Эта работа, опубликованная в 1637 году, стала лебединой песней математики Декарта, а именно в то время Ферма начал работать с наибольшим пылом. Эти два гения имели между собой мало общего. Декарт внес огромный вклад в науку, однако просто как факт следует отметить, что его математический гений блистал лишь в течение нескольких чудесных лет. Декарт был прежде всего философом, а Ферма — математиком в чистом виде. Они использовали разные подходы к решению задач. Для Декарта было достаточно разработать метод, а Ферма было необходимо применять его к решению математических задач.

Иллюстрация метода координат Фарма и того, как определяется геометрическое место точек.

Как уже упоминалось, интерес Ферма к аналитической геометрии возник из его попыток восстановить сочинение Аполлония. В процессе этой работы он пришел к мыслям, которые отразил в своем Isagoge, где можно прочитать следующее:

"Каждый раз, когда две величины [две неизвестные) находятся в равенстве..., существует такое геометрическое место..., что конечная точка [этих величин] описывает прямую или кривую линию".

Согласно историку Карлу Бойеру, данное утверждение составляет одну из самых больших революций в истории математики. Его нельзя доказать напрямую; это постулат. Но Ферма посвящает остаток своего маленького трактата иллюстрации его пользы, анализируя частный случай кривых: конические сечения, прямую линию и окружность (которую в древности не считали коническим сечением).