Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Действительно, Папп столкнулся с задачей, в которой ему потребовалось получить максимум. Такие задачи привычны для нас сегодня: например, найти геометрическую фигуру, обладающую наибольшим объемом с наименьшей площадью поверхности (сфера). Или, в качестве обратной задачи, определить, являются ли пчелиные соты оптимальной формой покрытия плоскости. Как видно, у данного типа задач много общего с задачами на оптимизацию. В любом случае, внимание Ферма привлекло то, что максимум, который искал Папп, был "единственным и исключительным". Пользуясь своими гуманитарными способностями, Ферма смог понять автора, что считал невозможным сам переводчик Паппа на латынь, Федерико Коммандино. Папп говорил о том, что экстремум является единственным. На основе этого, а также опираясь на работы Виета, Ферма придумал, как составить квадратное уравнение, отвечающее условиям задачи Паппа, у которого было бы только одно решение.

Вспомним, что у квадратного уравнения обычно два корня (мы говорим "обычно", поскольку во времена Ферма некоторые корни — от иррациональных до комплексных, не говоря уже об отрицательных — не допускались). Дело в том, что Виет изобрел метод выражения коэффициентов уравнения через два его корня, который он назвал синкризис.

СИНКРИЗИС ВИЕТА

Синкризис состоит в том, чтобы скомбинировать похожие уравнения с целью получить выражения, в которых корни связаны с их коэффициентами. Например, из уравнения bx - x² = c, корнем которого является х, можно получить уравнение by - у² = с, где у — другой корень. Виет приравнивал оба уравнения: bx - х² = by - у², откуда

b(x - y) = x² - y² <-> b = (x² - y²)/(x - y) = x + y;

и после замены с = (х + у) х - х² = х² + ху - х² = ху. Таким образом, как b, так и с выражаются через х и у.

МЕТОД МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФЕРМА

Проиллюстрируем метод примером: разделим отрезок АE точкой Е так, чтобы АЕ ∙ ЕВ было максимумом.

Пусть АВ = b.

1. Тогда если АЕ = а,ЕВ = b - а.

2. Следовательно, произведение, максимум которого нужно найти, равно ab - а².

3. Теперь заменим изначальную неизвестную а на а + е, то есть на другой корень. Следовательно, отрезок АЕ теперь равен а + е, а отрезок ЕВ равен b - а - е, в связи с чем произведение их обоих равно ab - а² + be - 2ае - е².

4. Приравниваем (2) и (3), так что ab - а² + be - 2ае - е² ≡ ab - а². Упрощаем: be - 2ae - e² ≡ 0 <-> be ≡ 2ae + e². Эта операция подобна синкризису: осуществляется приравнивание вместо обычного равенства.

5. Осуществляется деление на е до тех пор, пока в одном из членов не останется ни одного е: b ≡ 2а + е.

6. Устанавливается, что е равно нулю: b = 2а.

7. Следовательно, а = b/2

Очевидно, что речь идет о середине отрезка. 

Ферма воспользовался данным методом для выполнения действий со своим квадратным уравнением в инновационной форме. Он утверждал, что существует один корень х, а другой корень он назвал x + h, где h, как он пояснял, может быть любым значением. Далее следовал решительный и странный шаг. Ферма "приравнял" уравнение со значением х к уравнению со значением х + h: ƒ(х) = ƒ(x + h). Он назвал эту операцию "приравнять", воспользовавшись термином, взятым у Диофанта. Однако на самом деле во всей теории уравнений Виета не существует формального математического обоснования для осуществления этой странной операции.

Далее, в довершение всего, Ферма занялся тем, чтобы исключить некоторые члены, содержащие h, с помощью деления на h:

ƒ(x)/h = ƒ(x + h)/h

Наконец, он постановил, что h равно нулю и, следовательно, оба корня — это один-единственный корень. Это способ зафиксировать один корень и сделать так, чтобы второй корень равнялся ему. Но на самом деле казалось, что Ферма в данном случае просто разделил на ноль без какого-либо теоретического обоснования.