Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Как и Виет, Ферма неизменно опускает синтетическое доказательство, считая его тривиальным и пользуясь только аналитическим методом, чтобы дойти от уравнения до геометрического места точек. Однако ясно: ученый считает, что его теоремы обратимы (и это соответствует действительности), то есть для любого геометрического места точек также есть уравнение. Кроме того, в своих доказательствах Ферма использовал, чрезмерно не выделяя их, ряд преобразований, типичных для аналитической геометрии, таких как перемещение круга (чтобы его центр совпадал с началом координат), вращение параболы или изменение переменной. Ученый уже знал, что он может осуществить эти преобразования, и его результат все равно не потеряет обобщенности.

Заложив основы аналитической геометрии на плоскости, Ферма затем принялся за попытки распространить свои результаты на трехмерное пространство. Однако его математические методы не справились с такой задачей. Отсутствие системы координат оказалось роковым; визуализация геометрических результатов в трех измерениях без соответствующих координат слишком сложна, и Ферма так и не добился своей цели.

Декарт был первым, кто рассуждал об алгебре как о виде мыслительного процесса, но ясно, что Ферма, менее склонный к философии, был твердым сторонником данного подхода. Им вдвоем удалось создать новое математическое мышление, актуальное и сегодня. Очевидно, что Ферма не знал этого, но, вероятно, он был одним из последних математиков, которые так глубоко интересовались классиками. Герой нашей книги хотел возродить классическую традицию, восстановив самые значимые работы, однако на самом деле похоронил ее. Инструменты, которыми он пользовался для того, чтобы раскрыть забытые секреты Древней Греции, открыли новый мир, и из-за этого многие классические греческие методы потеряли свое значение.

ГЛАВА 5 Вклад Ферма в дифференциальное и интегральное исчисление

Аналитическая геометрия стала основой, с помощью которой были созданы другие революционные методы, в частности математический анализ. Ферма понял, что если можно использовать уравнение для полного описания кривой, то можно применить алгебраические действия для изучения свойств этой кривой. Но чтобы прийти к этому выводу, ученому пришлось преодолеть извилистый путь.

Еще в Бордо (где он установил связь с кружком последователей Виета и получал частные уроки математики от Жана Бограна), в молодости, Ферма работал над методом нахождения максимальных и минимальных значений, который, поскольку возник раньше, чем он изобрел аналитическую геометрию, не был основан на ней. Однако в течение примерно 15 лет математик возвращался к данной теме снова и снова, сочиняя небольшие трактаты, посвященные ей, и обсуждая ее в своей переписке. Эти записи наглядно показывают, как менялись мысли Ферма о его методе. В одном из писем Мерсенну он пообещал, что когда у него будет время, он напишет о нем большой трактат, чего так и не сделал. Речь идет о колоссальной потерянной возможности: если бы тулузский математик сдержал свое обещание, не исключено, что сегодня автором дифференциального исчисления мы считали бы Ферма.

Для ученого была характерна несколько хаотичная манера работы. Однажды Декарт с презрением сказал, что Ферма просто решает задачи (как реисты), а не систематизирует. Возможно, в чем-то он был прав. Гению из Тулузы было достаточно убедиться в том, что метод работает, чтобы увериться в его обобщенности, и он забывал про его доказательство. Исследование максимумов и минимумов не стало исключением.

ПОЛЕМИКА С ДЕКАРТОМ

В 1636 году в Париже начала распространяться рукопись Ферма под названием "Метод определения максимумов и минимумов и касательных к кривым линиям" (которую мы будем далее именовать Methodus, по ее латинскому названию). Methodus, написанная, вероятно, в 1629 году, состояла едва лишь из 600 слов. Она представляла собой пару инструкций, алгоритмов. Не было ни одного намека на то, как Ферма пришел к описанному результату, и ни одного доказательства. Как мы увидим, отсутствие ясности в Methodus вызовет у ученого немало проблем. Из-за своеобразной манеры изложения сочинение выглядело абсурдно. Практически сразу же, благодаря вмешательству Декарта, вокруг Methodus развязалась огромная полемика, и Ферма пришлось впервые и практически единственный раз в своей жизни дать детальное объяснение своего метода. Целых пять рукописей, включая письмо Брюлару, написал наш герой на эту тему. Самая важная из них — "Аналитическое исследование метода максимумов и минимумов" (далее "Аналитическое исследование"), в котором он объединяет два подхода, с одной стороны, исходя из работ Виета, а с другой — опираясь на труды Евклида и Паппа.