Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

1. v^2 - 1 0, т. е. -1  v 1. Парабола обращена ветвями вниз. При достаточно больших значениях u 1 она принимает отрицательные значения. Поэтому в плоскости (u, v) в проекции на прямую u = 2 мы получим интервал -1  v 1.

2. v^2 - 1 = 0. Если v = -1, то f(u)  2 и отрицательных решений нет. Если v = 1, то f(u) = 12u, где u 1. Отрицательных значений, удовлетворяющих системе (18), (19), в этом случае тоже нет.

3. Когда v^2 - 1 0, т. е. либо v -1, либо v 1 ветви параболы обращены вверх. Правее прямой u = 1 парабола может принимать отрицательные значения в двух случаях:

а) уравнение f(u) = 0 имеет два корня, и при этом абсцисса u₀ вершины (u₀; v₀) параболы превосходит 1, т. е.

После простых преобразований:

Окончательно получим

Система не имеет решений, так как одновременно все три ограничения не удовлетворяются;

б) абсцисса u₀ вершины (u₀; v₀) не больше 1, но f(1) меньше нуля:

После преобразований получим

Обобщим все рассмотренные варианты. Условиям удовлетворяют два интервала значений v, проекции которых в плоскости (u, v) на прямую u = 2 не пересекаются:

v  (-3, -2)  (-1, 1).

Когда мы вернемся к переменным x и y, ситуация не изменится, так как замена

не ведет к изменению расстояний между соответственными точками в старой и новой системе координат.

Основная трудность этой задачи состояла в том, что исследование пришлось вести одновременно в двух плоскостях (u, f(u)) и (u, v). К тому же, в конечном счете, нас интересует третья плоскость (x, y).

Ответ. 2.

17.10. Если x₁ и x₂ — целочисленные корни данного уравнения, то x₁ + x₂ = а + 3, откуда следует, что а = x₁ + x₂ - 3 — целое число. Корни данного уравнения равны

отсюда

т. е.  — целое число. Тогда

а^2 -2a + 1 = п^2 + 20, т. е. (а - 1)^2 - п^2 = 20,

или

(а - n - 1)(а + n - 1) = 20.

Остается рассмотреть варианты, когда каждая из скобок равна целочисленным множителям числа 20. Начнем со случая

Сложив эти два уравнения, получим уравнение

2a - 2 = 21,

не имеющее целочисленных решений.

Можно сделать более общий вывод: если в правой части других пар уравнений типа (20) и (21) есть один нечетный множитель числа 20, то целочисленных решений y системы аналогичной (20), (21) нет. Остается рассмотреть только случаи

Нетрудно убедиться, что первая и вторая системы приводят к одному значению а = 7, а третья и четвертая — к значению а = -5.

При а = 7 имеем x₁ = 3, x₂ = 7.

При а = -5 получим x₁ = -3, x₂ = 1.

Ответ. -5; 7.

17.11. Обозначим x^2 = y, где y >= 0. Получим квадратное уравнение

y^2 - (1 - 2a)y + а^2 - 1 = 0, (22)

дискриминант которого D = 5 - 4a.

Если 5 - 4a 0, т. е. а ⁵/₄, решений нет.

Если 5 - 4a = 0, т. е. а = ⁵/₄, получим уравнение

y^2 + ³/₂y + ⁹/₁₆ = 0

с единственным корнем y = - 3/4 . Однако y >= 0 и потому решений тоже нет.

Пусть теперь а ⁵/₄ и D 0. Тогда уравнение (22) имеет корни:

Рассмотрим сначала случаи, когда один из этих корней равен нулю, т. е.

При а = -1 получим уравнение

y^2 - 3y = 0, т. е. y₁ = 0, y₂ = 3.

Поэтому при а = -1 исходное уравнение имеет три корня 0; -3; 3.

При а = 1 получим

y^2 + y = 0,   т. е.   y₁ = 0, y₂ = -1.

Поскольку y >= 0, то при а = 1 остается одно решение x = 0.

Теперь осталось рассмотреть два случая:

y₁ 0 и y₂ 0.

В первом случае нужно решить неравенство

Оно равносильно системе

0  5 - 4a (1 - 2a)^2

(слева строгое неравенство, так как имеет место условие а ⁵/₄), т. е.

0  5 - 4a 1 - 4a + 4a^2.

Правое неравенство дает нам а^2 1. Таким образом, для y₁ 0 получим

а -1, 1 а ⁵/₄.

Для y₂ 0 получим

Если 2a - 1 0, т. е. а 1/2 , то условие а ⁵/₄ соблюдается. Поэтому при а   1/2 получим, что у₂ 0. Если же 2a - 1 >= 0, т. е. а 1/2 , то учтем условие а ⁵/₄. Возведя неравенство в квадрат, получим а^2 1, т. е. во втором случае (а >= 1/2 ) получим  1/2  = а 1. Окончательно у₂ 0 при а 1.

Объединим решения для y₁ 0 и у₂ 0, нанеся их на числовую прямую, учтем результат, полученный для а = ⁵/₄ (рис. P.17.11).

Ответ. При а -1 уравнение относительно x имеет четыре решения. При а = -1 y него три решения, при -1 а 1 два решения, при а = 1 одно решение, при 1 а  ⁵/₄ два решения, при а >= ⁵/₄ решений нет.

17.12. Пусть sin 4x = y. Тогда данное уравнение преобразуется в квадратное

(a + 3)y^2 + (2a - 1)y + (a - 2) = 0,   (23)

где

|y| = 1.   (24)

Уравнение (23) имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, т. е.

D = (2a - 1)^2 - 4(a + 3)(a - 2) = 25 - 8a >= 0.    (25)

Кроме того, нужно обеспечить, чтобы по крайней мере один из корней t₁ или t₂ уравнения (24) не превосходил по абсолютной величине 1.

Пусть сначала D = 0, т. е. а = ²⁵/₈. Тогда

Условие (24), как мы видим, соблюдается, и уравнение sin 4x = -³/₇ имеет решение.

Уравнение sin z = -³/₇ на отрезке [-, ] имеет ровно два решения z₁ и z₂. Если осуществить замену переменной: z = 4x, то отрезок [-, ] сузится для новой переменной x в четыре раза к началу отсчета и станет отрезком [-/₄, /₄]. Поэтому на отрезке [-, ] для переменной x разместятся уже не 2, а 8 решений (в силу того, что sin z имеет период 2, а sin 4x имеет период /₂). Итак, а = ²⁵/₈ — одно из искомых нами значений параметра а.