Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Пусть теперь D 0, т. е. а ²⁵/₈. Тогда уравнение (23) имеет два действительных решения y₁ и y₂, такие, что y₁ y₂. Если оба значения y₁ и y₂ попадают внутрь интервала (-1, 1), то каждому значению синуса будут соответствовать два значения переменной z в интервале (-, ) и восемь значений переменной x = ^z/₄ в том же интервале. Решений будет ровно 8, если одно решение уравнения лежит в (-1, 1), а другое — вне этого интервала (случаи, когда y = ±1 будут рассмотрены отдельно). Конечно, можно перебрать все возможные варианты расположения y₁ и y₂ относительно интервала (-1, 1). Но это хлопотно и поэтому задачу следует упростить. Нас интересуют все случаи, когда один корень параболы, определяемой левой частью уравнения (23), внутри интервала (-1, 1), а другой вне этого интервала, т. е. парабола

f(y) = (а + 3)y^2 + (2a - 1)y + (а - 2)    (26)

пересекает интервал (-1, 1) в одной и только в одной точке. Это условие равносильно такому

f(-1)f(1) 0,    (27)

т. е. на концах интервала (-1, 1) парабола имеет противоположные знаки. Подставим в (27) значения y = -1 и y = 1. После преобразований получим

а 0.

При этом условии удовлетворяется и требование D 0, т. е. требование а ²⁵/₈. Итак, все значения а  (-, 0) удовлетворяют условиям задачи, как и найденное ранее значение а = ²⁵/₈. Мы не рассмотрели только случаи, когда корни уравнения (23) равны -1 и 1.

Начнем со случая y₁ = -1, y₂ = 1, т. е. f(-1) = f(1) = 0.

Так как f(-1) = 2, f(1) = 4a, то этот случай невозможен. Невозможен и случай, когда f(-1) = 0, так как f(-1) = 2. Остается последняя возможность: f(1) = 0. Но f(1) = 4a . Поэтому а = 0. Уравнение (23) примет вид

3y^2 - y - 2 = 0.    (28)

Уравнение (28) имеет два корня:

у₁ = - 2/3 и y₂ = 1.

Первому из них уже будут соответствовать два значения z и восемь значений x на отрезке [-, ]. Сколько соответствует второму, не существенно. Достаточно, что не меньше одного. Поэтому этот случай не дает новых значений параметра а.

Ответ.а  (-, 0)  (²⁵/₈).

17.13. Через точку на плоскости (x; y) с фиксированными координатами x и y проходит кривая семейства тогда и только тогда, когда существует значение параметра а, удовлетворяющее данному уравнению кривых семейства при этих фиксированных x и y.

Другими словами, если мы запишем уравнение семейства кривых как уравнение относительно а, то оно имеет решение при тех и только тех значениях x и y, при которых через точку плоскости с этими координатами проходит кривая семейства. Поэтому преобразуем исходное уравнение к виду

2a^2 + 2(x - 2)а + (x - 1)^2 - y = 0

и потребуем, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен

D = -х^2 + 2 + 2y >= 0,

откуда

y >= ^x^2/₂ - 1.

Это необходимое и достаточное условие того, чтобы через точку (x; y) проходила по крайней мере одна кривая данного семейства.

Таким образом, через все точки (x; y), лежащие вне части плоскости, ограниченной параболой y = ^x^2/₂ - 1 (рис. P.17.13), кривые семейства не проходят. Через остальные точки кривые проходят.

Глава 18 Задачи на составление уравнений

18.1. Пусть x, y, z, u — производительности первой, второй, третьей и четвертой труб соответственно. Примем объем бассейна за единицу. Тогда получим систему уравнений

Вычитая из первого уравнения поочередно второе и третье, найдем соответственно

z = ¹/₁₂, x = ¹/₂₀.

Следовательно, общая производительность первой и третьей труб равна z + x = ²/₁₅.

Ответ. 7,5 ч.

18.2. Пусть плечи весов равны l₁ и l₂ соответственно. Тогда в первый раз продавец отпустил  кг товара, а во второй раз он отпустил  кг. Таким образом, он отпустил покупателю товар массой

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

где равенство достигается лишь при l₁ = l₂. Таким образом, продавец отпустил больше товара, чем следовало.

18.3. Если все 500 марок расклеить по 20 на один лист, то двух альбомов не хватит для всех марок. Поэтому 2x 25, т. е. x = 12 (x - количество листов в альбоме и, следовательно, целое). Если же 500 марок расклеить по 23 на один лист, то в двух альбомах окажется по крайней мере один свободный лист. Это значит, что 2x - 1 >= ⁵⁰⁰/₂₃, откуда 2x >= 22, x >= 11. Итак, либо x = 11, либо x = 12.

Если в альбоме 11 листов, то y школьника было 500 - 21 · 11 = 269 марок, которые нельзя разместить на 10 листах по 23 штуки на каждом. Второе число удовлетворяет условию задачи.

Ответ. 12 листов.

18.4. Поскольку понтоны находились в пути одинаковое время и в одинаковых условиях, то каждый из них проплыл одно и то же расстояние без буксира (см. второе указание на с. 203). Обозначим это расстояние через x. Каждый понтон находился в пути

Буксир в свою очередь, помимо пути в l км вниз по течению, дважды преодолел расстояние l - 2x км: один раз вниз по течению, другой раз вверх по течению. На весь путь y него ушло

Приравниваем выражения (1) и (2) (буксир был в пути столько же времени, сколько каждый понтон) и решим уравнение.

Получим

Следовательно, второй понтон должен транспортироваться на расстояние в

а на всю перевозку уйдет

Ответ.