Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

18.12. Пусть x и y — скорости автомобиля и мотоцикла соответственно, а z — длина пути AB. Тогда первая встреча произойдет через ^z/_x + y ч после начала движения на расстоянии ^zy/_x + y от пункта В. Те же рассуждения, примененные к отрезку длиной в ^zy/_x + y, позволят найти расстояние между первым и вторым пунктами встречи. По условию это расстояние равно ^2z/₉, т. е.

^zyx/_(x + y)^2 = ²/₉z, или ^yx/_(x + y)^2 = ²/₉.

Это уравнение можно переписать так:

2x^2 - 5ху + 2y^2 = 0, т. е. 2(^x/_y)^2 - 5^x/_y + 2 = 0,

откуда

либо ^x/_y = 2, либо ^x/_y = 1/2 . (7)

Очевидно, что эти отношения дают симметричные решения. Если предположить, что скорость автомобиля больше скорости мотоцикла, то x = 2y.

Используем оставшиеся условия задачи. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, т. е. равнялась бы (x - 20) км/ч, то первая встреча произошла бы через 3 ч после начала движения. Получаем уравнение

^z/_x + y - 20 = 3.    (8)

Мотоцикл до встречи преодолел бы в этом случае расстояние в 3y км, а расстояние между пунктами первой и второй встреч составило бы ^3yx/_x + y - 20. Получаем третье уравнение:

^{3y(x - 20)}/_x + y - 20 = 60.   (9)

Подставим в это уравнение x = 2y. Получим квадратное уравнение, корнями которого являются

y₁ = 20 + 102, y₂ = 20 - 102.

Второе значение не подходит, так как тогда x₂ 20.

Итак,

y = (20 + 102) км/ч, x = (40 + 202) км/ч,

а из уравнения (8) найдем z = (120 + 902) км.

Ответ. (120 + 902) км.

18.13. Пусть пассажир опоздал на поезд на t ч, проехал на такси x км, а на автобусе y км. Скорость поезда обозначим через u. Тогда путь до встречи с поездом пассажир проедет за  ч, а поезд пройдет этот путь за ^x + y/_u ч. Учтя опоздание пассажира, получим

Поездка на такси и автобусе обошлась пассажиру в (ax + А) p. Если бы он ехал все время на такси, то это стоило бы (ax + А - В) p. и он догнал бы поезд, проехав ^ax + А - В/_a км. Приравнивая времена, за которые этот путь прошел поезд и проехал догонявший его пассажир, получим второе уравнение:

Третье уравнение очевидно:

Записав его в виде

найдем

Приравниваем выражения для t из уравнений (10) и (11). Получим

т. е.

Поскольку y уже найден, можно вычислить u:

Чтобы задача имела решение, скорость поезда должна быть положительной. Так как v₁ v₂ и А В, то из неравенства

следует, что

Ответ.

18.14. Обозначим скорость товарного поезда до остановки через x, расстояние AB через y, а расстояние AC через z. Тогда пассажирский поезд шел вначале со скоростью mx, а после остановки оба поезда шли соответственно со скоростями ^5x/₄ и ^5mx/₄. Весь путь без остановки товарный поезд прошел бы за ^y/_x ч. Поскольку он сделал остановку на t ч в z км от А, а затем прошел оставшиеся (y - z) км со скоростью ^5x/₄, то он прошел весь путь за

^z/_x + ^4(y - z)/_5x + t ч.

Следовательно,

^y/_x + t₁ = ^z/_x + ^4(y - z)/_5x + t.

Аналогичное уравнение составляем для пассажирского поезда, который шел в обратном направлении:

^y/_mx + t₂ = ^y - z/_mx + ^4y/_5mx + t.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из времени, за которое товарный поезд прошел отрезок AC, вычесть время, за которое пассажирский поезд прошел расстояние BC. В наших обозначениях эта разность запишется так:

^z/_x - ^y - z/_mx.

Именно это выражение нам нужно определить с помощью полученных выше уравнений. Мы может добиться этого, решив уравнения относительно ^z/_x и ^y/_x. После простых преобразований система примет вид

Умножив первое уравнение на -4 и сложив со вторым, найдем ^z/_x, а умножив его на -5 и сложив со вторым, найдем ^y/_x:

^y/_x = 25(t - t₁) - 5m(t₂ - t), ^z/_x = 20(t - t₁) - 5m(t₂ - t).

Остается подставить найденные значения в выражение

(m + 1)^z/_mx - ^y/_mx.

Ответ. ⁵/_m[(4m - 1)(t - t₁) - m^2(t₂ - t)].

18.15. Обозначим скорость самолета через x, а скорость вертолета через y. До первой встречи вертолет летел ^d/_y ч, а самолет — ^d/_x ч. Так как самолет вылетел на t ч позднее, то

^d/_y = ^d/_x + t.

Второе уравнение мы получим из условия второй встречи. Вертолет к этому моменту находился в d км от В и пробыл в полете ^s - d/_y ч. Самолет, преодолев расстояние s + d, пробыл в полете ^s + d/_x ч. Следовательно,

^{s - d}/_y = ^s + d/_x + t.

Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим интересующую нас величину в предположении, что x и y известны. Вертолет прилетел в В через ^s/_y ч после вылета. Самолет вернулся в А через (t + ^2s/_x) ч после того, как вертолет вылетел из А. Нас интересует величина

t + ^2s/_x - ^s/_y

— на столько позднее самолет вернулся в А, чем вертолет прилетел в В. Таким образом, из полученных уравнений нужно определить ¹/_x и ¹/_y. Умножив первое уравнение на d - s, а второе на d и сложив, найдем

^{(s + d)d}/_x + ^d(d - s)/_x + t(d - s) + td = 0, т. е.  ^2d^2/_x = t(s - 2d),

откуда

¹/_x =  ^t(s - 2d)/_2d^2.

Из первого уравнения определяем ¹/_y:

¹/_y = ¹/_x + ^t/_d = ^ts/_2d^2.

Следовательно,

t + ^2s/_x - ^s/_y = t + ^2st(s - 2d)/_2d^2 - ^ts^2/_2d^2 = t + ^st(s - 4d)/_2d^2.