Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения:

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

2(x + 105) = xq^2 - 120,

т. е.

x(q^2 - 2) = 330. (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки a, то

a(q^2 - 2) = 3.   (1')

Сравним с уравнением (3):

x = 110a.

Первое из уравнений (2) можно переписать так:

(110a + 105)(aq + 3) = (110aq + 15)(a + 3), т. е. 5aq - 7a = 6.

Решим его совместно с уравнением (1'):

Из первого уравнения а = ⁶/_5q - 7. Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение

6q^2 - 15q + 9 = 0,

откуда q₁ = ³/₂ , q₂ = 1.

Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через 3 года стать вдвое старше другого.

Ответ. 12, 18, 27.

19.15. Пусть а, b, с и а^2, b^2, с^2. Другими словами, 2b = а + с и b⁴ = а^2с^2. Если первое уравнение возвести в квадрат

4b^2 = а^2 + 2aс + с^2,

а второе записать в виде b^2 = |ac|, то, сравнивая левые части этих равенств, найдем

а^2 + 2aс + с^2 = 4|ac|.

Если а и с одного знака, получаем уравнение

а^2 - 2aс + с^2 = 0,    т. е.    (а - с)^2 = 0,

откуда а = с. Следовательно, а^2 = с^2 и знаменатель прогрессии а^2, b^2, с^2 равен 1. Если а и с разных знаков, получаем уравнение

а^2 + 6ас + с^2 = 0.

Разделим на а^2 (по условию а /= 0) и решим уравнение

(^c/_a)^2 + 6^c/_a + 1 = о

относительно ^c/_a:

^c/_a = -3 ± 8.

Так как ^{c^2}/_a^2 = q^2, то

q^2 = (-3 ± 8)^2.

Числа а^2, b^2 и с^2, образующие геометрическую прогрессию, положительны. Следовательно, q 0. Таким образом, из последнего уравнения

q_2,3 = 3 + 8.

Ответ. 3 - 8; 1; -3 + 8.

19.16. При n = 1 формулы верны:

Предположим, что эти формулы верны для n = k, и докажем, что они верны для n = k + 1:

Так как  то предел последовательности равен a +  2/3 (b - a) = ^{a+ 2b}/₃.

Ответ. ^{a + 2b}/₃.

19.17. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

(8a - 3)x + (14a + 5)x = 2k, (14a + 5)x - (8a - 3)x = 2n,

или

(11a + 1)x = k, (3a + 4)x = n.

Так как по условию a 0, то 11a + 1 /= 0 и 3a + 4 /= 0. Поэтому

x_k = ^k/_11a + 1, x_n = ⁿ/_3a + 4.

Значения x_k и x_n при k, n = 0, 1, 2, ... (по условию x >= 0) образуют две прогрессии с разностями

d₁ = /_11a + 1, d₂ = /_3a + 4

и первыми членами, равными нулю. Числа x_k и x_n, расположенные в порядке возрастания, составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда их разности кратны, т. е. либо d₂ = d₁m при d₁ = d₂, либо d₁ = d₂m при d₂ = d₁ (m — натуральное число). Пусть, например, d₁ = d₂. Тогда d₁ — второй член новой прогрессии (первый ее член равен нулю) и d₁ — разность этой прогрессии. Однако число d₂, являясь членом второй прогрессии, также должно войти в новую прогрессию. Поэтому d₂ = 0 + d₁m = d₁m. Обратно, если d₂ = d₁m и d₁ = d₂, то x_n = d₂n = d₁mn, т. е. каждый член второй прогрессии является членом первой прогрессии. Аналогичное доказательство может быть проведено для случая d₂ = d₁.

Итак, для d₁ = d₂ имеем

Так как m — натуральное, то 4m - 1 0. В свою очередь а 0, а потому 11 - 3m 0 и m  ¹¹/₃. Получаем три возможных значения m — 1, 2, 3 и соответствующие им значения а = ³/₈, ⁷/₅, ¹¹/₂.

Для d₂ = d₁ получим

При натуральном m разность 11m - 3 положительна, а так как а 0, то 4 - m 0 или m  4. Каждому из трех возможных значений m = 1, 2, 3 будет соответствовать свое значение а = ³/₈, ²/₁₉, ¹/₃₀.

Ответ.¹/₃₀, ²/₁₉, ³/₈, ⁷/₅, ¹¹/₂.

Глава 20 Суммирование

20.1. Докажем, что

S = 1/2 + ... + ¹/_n^2 1.

Так как

¹/_{(1 + k})^2 ¹/_k(1 + k),

то

При доказательстве мы воспользовались тем, что

¹/_(n - 1)n = ¹/_n - 1 - ¹/_n.

Такой прием часто применяется и называется разложением дроби на простейшие.

20.2. Так как

то

Ответ.ⁿ - 1/_d^2n.

20.3. Представим k-e слагаемое в виде

Тогда

Ответ.

20.4. Левую часть данного равенства перепишем в виде

воспользовавшись для этого формулой суммы членов геометрической прогрессии. Тогда (поскольку а /= 1)

Правая часть может быть записана так:

Итак,

По условию а /= 0, 1, -1. Это позволяет найти нужную нам зависимость.

Ответ.n + 1 = 2^k + 1.

20.5. Расположим коэффициенты данного многочлена слева направо и разместим под ними коэффициенты того же многочлена, расположенные в обратном порядке,

Теперь можно выписать коэффициент при xⁿ, составив сумму попарных произведений расположенных один под другим множителей:

1 · n + 1(n - 1) + 2(n - 2) + 3(n - 3) + ... + (n - 1)1 + n · 1.

Эту сумму можно преобразовать так:

Каждую из сумм, стоящих в скобках, легко подсчитать:

Таким образом, искомый коэффициент равен

Ответ.

20.6. Неравенство равносильно системе (в левой его части — абсолютная величина суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем — 2x):

Из второго неравенства следует, что -1 2x 1, т. е. 1 + 2x 0. Поэтому первое неравенство можно переписать в виде

^|x|/_{1 + 2x} 1, или |x| 1 + 2x.

Таким образом, приходим к системе

которая равносильна совокупности двух систем