Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ. - 1/3 x   1/2 .

20.7. Так как k · k! = (k + 1)! - k!, то

2! - 1! + 3! - 2! + 4! - 3! + ... + (n + 1)! - n! = (n + 1)! - 1.

Ответ. (n + 1)! - 1.

20.8. Домножим S_n на x^2:

x^2S_n = x^3 + 4x⁵ + 7x⁷ + ... + (3n - 2)x²ⁿ + 1,

и вычтем полученное выражение из S_n:

Ответ. 

20.9. Рассмотрим тождество[22]

(x + 1)⁵ = x⁵ + 5x⁴ + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1.

Положим в нем последовательно x = 1, 2, ..., n и сложим n полученных равенств:

2⁵ + 3⁵ + ... + (n + 1)⁵ = 1 + 2⁵ + 3⁵ + .. + n⁵ + 5(1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴) + 10(1^3 + 2^3 + ... + n^3) + 10(1^2 + 2^2 + ... + n^2) + 5(1 + 2 + ... + n) + n.

После приведения подобных получим

откуда

Так как

то

Многочлен третьей степени, стоящий в скобках, имеет корень n = -2 и поэтому делится на 2n + 1.

Ответ.¹/₃₀n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1).

20.10. В n-й группе содержится n членов.

Пусть n четное. Подсчитаем число четных чисел, встречающихся во всех группах до n-й. Это число равно

2 + 4 + 6 + ... + (n - 2) = ⁿ(n - 2)/₄.

Следовательно, последнее четное число, встречающееся до n-й группы, равно 2ⁿ(n - 2)/₄ = ⁿ(n - 2)/₂, а первое четное число, входящее в n-ю группу, равно ⁿ(n - 2)/₂ + 2. Теперь можно найти сумму n последовательных четных чисел, начинающихся с ⁿ(n - 2)/₂ + 2. Эта сумма равна

Пусть теперь n четное. Число нечетных членов, встречающихся до n-й группы, равно

1 + 3 + 5 + ... + (n - 2) = ⁽ⁿ - 1)^2/₄.

Последним нечетным числом, стоящим до n-й группы, будет ⁽ⁿ - 1)^2/₂ - 1, а первым числом, входящим в n-ю группу, — число ⁽ⁿ - 1)^2/₂ + 1. Следовательно, сумма n последовательных нечетных чисел, начиная с ⁽ⁿ - 1)^2/₂ + 1, равна

Ответы можно объединить.

Ответ. ⁿ/₂[n^2 + ³/₂ + (-1)ⁿ 1/2 ].

20.11. Домножим S_n на 2 sin /_2n:

После приведения подобных получим

Так как sin /_2n /= 0 при натуральных n, то S_n = 0.

2 n

Ответ. 0.

20.12. Обозначим искомую сумму через S. Тогда

2S = 1 · 2 + 2 · 2^2 + 3 · 2^3 + ... + 100 · 2¹⁰⁰,

2S - S = 100 · 2¹⁰⁰ - (1 + 2 + 2^2 + ... + 2⁹⁹) = 100 · 2¹⁰⁰ - (2¹⁰⁰ - 1) = 99 · 2¹⁰⁰ + 1.

20.13. Пусть искомая сумма равна S. Разделим каждый член данного ряда на 2:

1/4 + ³/₈ + ⁵/₁₆ + ⁷/₃₂ + ... = ^S/₂

и вычтем полученный ряд из данного. Получим ряд:

1/2 + 1/2 + 1/4 + ¹/₈ + ¹/₁₆ + ...,

сумма которого равна ³/₂. Однако, с другой стороны, его сумма есть ни что иное, как S - ^S/₂ = ^S/₂. Таким образом, ^S/₂ = ³/₂ и, следовательно, S = 3.

Ответ. 3.

Глава 21 Соединения и бином

21.1. Присвоим каждому из сидящих за круглым столом номер: а₁, а₂, ..., а_n. Образовывая циклические перестановки: а_n, а₁, а₂, ..., а_{n - 1}; а_{п - 1}, а_n, а₁, а₂, ..., а_{п - 2} и т. д., мы будем получать тот же способ размещения за столом. Таких циклических перестановок можно составить n.

Кроме этого, нужно учесть, что сосед слева и сосед справа неразличимы, т. е. перестановки а₁, а₂, ..., а_п и а₁, а_n, а_n - 1, ..., а₂ дают одно и то же размещение за столом. Так как всего возможно n! перестановок, из которых каждые 2n одинаковы, то искомое число равно

^n!/_2n =  1/2 (n - 1)!.

Ответ. 1/2 (n - 1)!.

21.2. Всего из пяти элементов можно составить Р₅ перестановок. Среди них будет Р₄, y которых на первом месте а₁, и Р₄, y которых на первом месте а₂. Однако перестановки, y которых на первом месте а₁, а на втором месте а₂, попали и в первую, и во вторую группы. Таких перестановок Р₃.

Поэтому искомое число перестановок равно

Р₅ - (2P₄ - Р₃) = 78.

Ответ. 78.

21.3. Из семи разрядов три должны быть заняты двойками, что дает  вариантов. На каждое из оставшихся мест можно поместить любую из восьми цифр, благодаря чему каждый из предыдущих вариантов даст еще 8⁴ возможностей.

Ответ.

21.4. Предположим, что в каждое число входят три различные единицы: l₁, l₂, l₃, а остальные цифры 0, 2, 3, 4 и 5 равноправны. Тогда можно получить Р₈ различных чисел. Отсюда нужно исключить Р₇ чисел, начинающихся с нуля.

На самом деле разные единицы неразличимы. Другими словами, вместо одного числа мы получим Р₃ одинаковых чисел, отличающихся лишь взаимными перестановками единиц.

Ответ.

21.5. Предположим, что каюты неравноценны. Это дает в 8! раз больше вариантов, чем в случае равноценных кают, что мы учтем позднее.

В первую каюту можно заселить любых четырех из 32 экскурсантов, что можно сделать  способами, во вторую — любых четырех из 28 оставшихся и т. д. В итоге получим

способов. Это число остается разделить на 8! и произвести упрощения.

Ответ..

21.6. Рассмотрим k-й член суммы

Данную сумму можно переписать в виде

Ответ.n · 2ⁿ - 1.

21.7. Из разложения

выделим действительную часть и приравняем действительной части комплексного числа (1 + i)ⁿ. В самом деле,

т. е.

где n - 1 = 2k = n.

Последнее ограничение означает, что через 2k обозначено то из чисел n - 1 и n, которое является четным.

Ответ.

21.8. Условию задачи удовлетворяют такие n, для которых равенство