Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

выполняется хотя бы для одного k. Заметим, что 1 = k = n - 1; n >= 2. Равенство (1) перепишем в виде

что после простых преобразований даст

4k^2 - 4nk + п^2 - n - 2 = 0,

откуда

Чтобы выражение в правой части было целым, нужно сначала потребовать

n + 2 = m^2,   т. е.   n = m^2 - 2.

Поскольку n >= 2, то т^2 >= 4 и m >= 2. Тогда

Если взять знак минус, получим

Число, стоящее в числителе, четное при всех m. Значение m = 2 нужно исключить, так как тогда k₁ = 0, что невозможно. Если же m >= 3, то m + 1 >= 4, а m - 2 >= 1. Следовательно, k₁ >= 2. Потребуем теперь, чтобы выполнялось второе условие: k₁ = n - 1, т. е.  что равносильно неравенству m^2 + m - 4 >= 0. Последнее неравенство справедливо при всех m >= 3.

Остается исследовать

Так как условие n >= 2, из которого следует, что m >= 2, должно выполняться и для k₂, то формула (3) по сравнению с (2) может дать лишь одно дополнительное значение: m = 2. Однако при m = 2 получим, что k₂ = 2 и n = 2. Это противоречит требованию k = n - 1. Таким образом, формула (3) не дает новых значений m, а следовательно, и n.

Ответ.n = m^2 - 2, где m = 3, 4, 5, ... .

21.9. Так как

(a + b + c + d)ⁿ = [(a + b) + (c + d)]ⁿ = (a + b)ⁿ + C_n¹(a + b)ⁿ - 1(c + d) + ... + (c + d)ⁿ,

то после раскрытия скобок получим все неподобные члены. Их число будет равно

(n + 1) · 1 + n · 2 + (n - 1) · 3 + ... + 2n + 1(n + 1),

где для симметрии к крайним членам приписаны множителями единицы. Чтобы вычислить эту сумму, запишем ее k-й член: (n + 2 - k) = (n + 2)k - k^2. Тогда наша сумма примет вид

Ответ.

21.10. Предположим, что 0 = k = n - 1. Запишем данное выражение в виде

(1 + x + x^2 + ... + x^{k - 1} + x^k + x^{k + 1} + ... + x^{n - 1})^2.

Члены, содержащие x^k, могут быть получены только в результате почленного перемножения членов суммы 1 + x + x^2 + ... + x^{k - 1} + x^k с членами той же суммы, записанной в обратном порядке, т. е.

1 · х^k, x · х^{k - 1}, ..., х^{k - 1} · x, x^k · 1

Так как слагаемых будет k + 1, то и коэффициент при x^k будет равен k + 1.

Предположим теперь, что n - 1  k = 2(n - 1). Тогда нужно почленно перемножить суммы

x^{k - n} + 1 + ... + x^{n - 1}, x^{n - 1} + ... + x^{k - n} + 1,

в результате чего получим 2n - k - 1 членов, содержащих x^k.

Ответ. k + 1, если 0 = k = n - 1;

2n - k - 1, если n - 1  k = 2n - 2.

21.11. Сравним коэффициент члена разложения с номером k + 1 с коэффициентом десятого члена разложения:

Так как знаменатели одинаковы, то

Поскольку десятый член разложения имеет наибольший коэффициент, то он больше девятого и больше одиннадцатого:

Из первого неравенства следует, что

Из второго

Ответ.n = 13.

21.12. Преобразуем выражение, стоящее в левой части, следующим образом:

Вопрос состоит в следующем: если k, m = 1, 2, ..., 20, причем m = k, то какие значения от 0 до 100 принимает выражение 5k - 2m.

Если m = 0, 1, 2, 3, 4, то получим соответственно 5k, 5k - 2, 5k - 4, 5k - 6, 5k - 8. Если бы k не было связано ограничениями, то мы получили бы все числа, так как в эти пять выражений вошли числа, дающие при делении на 5 в остатке 0, 3, 1, 4 и 2 соответственно. Однако k = 0, 1, ..., 20 и, кроме того, k >= m. Так как 5k получено при m = 0, то k может принимать все свои 21 значение, в результате чего получим все числа, кратные 5 от 0 до 100. Рассмотрим теперь числа, которые при делении на 5 дают в остатке 1. У нас они записаны в виде 5k - 4 и получились при m = 2, в силу чего k = 2, 3, ..., 20. В результате мы получим 19 чисел, дающих при делении на 5 в остатке 1. В эту группу не войдет лишь число 1. Числа, дающие в остатке 2, записаны в виде 5k - 8, где k >= 4. Следовательно, 5k - 8 = 12, 17, ..., 92, т. е. выпадают числа 2, 7 и 97. Для чисел вида 5k - 2 переменная k = 1, 2, ..., 20 и 5k - 2 = 3, 8, ..., 98, куда вошли все числа, дающие в остатке 3. Среди чисел вида 5k - 6, где k = 3, ..., 20, мы не встретим 4 и 99.

Числа 1, 2, 4, 7, 97 и 99 не могут быть получены из выражения 5k - 2m и при m 4. В самом деле, с одной стороны, 5k - 2m >= 5m - 2m = 3m 12, а с другой стороны,

5k - 2m 5k - 8 = 100 - 8 = 92,

т. е.

12 5k - 2m 92.

Итак, выпали 6 чисел 1, 2, 4, 7, 97 и 99, т. е. будут отсутствовать члены с показателями 99, 98, 96, 93, 3, 1.

Ответ. 95.

21.13. Пусть Р_n — ответ на вопрос задачи для последовательности, состоящей из n элементов. В первой группе может оказаться либо один элемент (а₁), либо два элемента (а₁, а₂). Разбиений, содержащих в первой группе один элемент (а₁), будет столько, сколько разбиений можно образовать из n - 1 оставшихся членов последовательности а₂, а₃, ..., а_n, т. е. Р_{n - 1}. Разбиений же, содержащих в первой группе два элемента, будет Р_{n - 2}, так как после образования группы (а₁, а₂) останется n - 2 элементов а₃, ..., а_n.

Итак

Р_n = Р_{n - 1} + Р_{n - 2}.

Такая формула называется рекуррентной, потому что, зная Р₁ и Р₂ и применяя ее последовательно, мы получим Р₃, затем Р₄ и т. д. Поскольку Р₁ = 1, а Р₂ = 2, то Р₃ = 3, Р₄ = 5, Р₅ = 8, Р₆ = 13, Р₇ = 21, Р₈ = 34, Р₉ = 55, Р₁₀ = 89.

Ответ. 89.