Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Из первого и второго равенств найдем cos aT = 1 и T = ²ⁿ/_a. Подставим найденное значение Т в последнее уравнение:

sin ⁴ⁿ/_a + cos 4n = sin ²ⁿ/_a + cos 2n,

т. е.

sin ⁴ⁿ/_a = sin ²ⁿ/_a,

откуда или ⁴ⁿ/_a - ²ⁿ/_a = 2k, или ⁴ⁿ/_a + ²ⁿ/_a = (2k + 1), т. e. или а = ⁿ/_k, или a = ⁶ⁿ/_2k + 1. И в том и в другом случае а — рациональное число.

23.8. Период функции cos ^3x/₂ равен Т₁ = 2 : ³/₂ = ⁴/₃, период функции sin ^x/₃ равен 6.

Наименьшее общее кратное этих периодов будет 12. Очевидно, что 12 — период данной функции. Докажем, что это — основной период.

Пусть существует период  такой, что 0   12. Тогда имеем тождество

cos ³/₂(x + ) - sin ^x + /₃ - cos ³/₂x + sin ^x/₃ = 0,

или

sin 3/4 sin 3/4 (2x + ) + sin /₆ cos ¹/₆ (2x + ) = 0.

Так как  12, а  3/4 = ³/₄ и /₆ = /₆, то одно из чисел ³/₄ или /₆ не является целым, т. е. по крайней мере одно из чисел sin 3/4 и sin /₆ не равно нулю. Пусть, например, sin  3/4  /= 0.

Тогда имеем тождество

что невозможно, так как в правой части стоит постоянная величина. Легко убедиться, что это тождество ложно, выбрав, например, x = 0 и x = 6 и сравнив для этих x левые части. Получим sin ³/₄ = 0, что противоречит предположению.

Ответ. 12.

Глава 24 Наибольшие и наименьшие значения

24.1. Так как sin x - cos^2 x - 1 = sin^2 x + sin x - 2 = (sin x +  1/2 )^2 - ⁹/₄, то функция достигает своего наименьшего значения при sin x +  1/2 = 0.

Ответ.x = (-1)^k + 1 /₆ + k.

24.2. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов

y = 1/2 [cos /₆ - cos (4x - /₆)] = ³/₄ - 1/2 cos (4x - /₆).

Чтобы функция y достигла своего наибольшего значения, нужно положить cos (4x - /₆) = -1, откуда x = /₂₄ + /₄ (2n + 1) = ⁿ/₂ + ⁷/₂₄. Наибольшее значение функции равно y_max = ³/₄ + 1/2 .

Ответ. При x = ⁿ/₂ + ⁷/₂₄ y_max = ³/₄ + 1/2 .

24.3. Данную функцию можно записать в виде y = sin x cos x (cos^2 x - sin^2 x), после чего она легко преобразуется: 4y = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x.

Ответ. 1/4 .

24.4. Запишем данное выражение в виде (x + y + 1)^2 + (x - 2)^2 - 3. Оно будет иметь наименьшее значение, если одновременно x - 2 = 0 и x + y + 1 = 0.

Ответ. -3 при x = 2.

24.5. Точки ±1 и ±2 разбивают числовую ось на пять интервалов, в каждом из которых нетрудно найти наименьшее значение y.

1. Если x = -2, то y = x^2 - 1 + x^2 - 4 - x - 2 - x - 1 = 2x^2 - 2x - 8.

Абсцисса вершины параболы y = 2x^2 - 2x - 8 равна x = -^b/_2a = 1/2 ,

т. е. при x = 2 мы находимся левее вершины, функция y на этом участке убывает, а потому наименьшее значение она принимает в самой правой точке интервала: x = -2, y = 4.

2. Если[23] -2 = x = -1, то легко проверить, что y = 4.

3. Если -1 = x = 1, то y = -2x^2 + 2x + 8.

Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее значение нужно искать на концах интервала: при x = -1 мы уже видели, что y = 4; при x = 1, y = 8.

4. Если 1 = x = 2, то y = 2x + 6. Наименьшим будет значение в точке x = 1.

5. Если x >= 2, то y = 2x^2 + 2x - 2.

Абсцисса вершины этой параболы x = - 1/2 ; она лежит левее точки x = 2. Следовательно, наименьшее значение достигается при x = 2, т. е. y = 10.

Ответ.y_min = 4 при -2 = x = -1.

24.6. Заменим ^a/_x на сумму из семи одинаковых слагаемых, каждое из которых равно ^a/_7x. К функции

x⁷ + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x

применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим  Равенство достигается при  

Ответ.

24.7. Если ввести углы x и y (рис. P.24.7), то по теореме синусов AB + BC + 2R(sin x +  sin y) = 4R sin [ ^- /₂] cos [^x - y/₂].

Наибольшее значение этого выражения достигается при cos [^{x - y}/₂] = 1, т. е. при x - y = 0. Так как x + y =  - , то x = /₂ - /₂. Следовательно,

AB = ВС = 2R sin x = 2R cos /₂.

Ответ. 2R cos /₂.

24 . 8 . Если катеты основания обозначить через а и b, то боковая поверхность призмы равна

Нам известна площадь основания. Поэтому аb = 4. Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только аb и а + b:

Мы получили монотонную функцию от а + b. Ее наименьшее значение достигается одновременно с наименьшим значением а + b. Поскольку а + b >= 2ab = 4, то равенство достигается, если а = b = 2.

Ответ. 2.

24.9. Так как правильный шестиугольник и квадрат — фигуры центрально-симметричные, то центр вписанного в шестиугольник квадрата должен совпадать с центром шестиугольника. Пусть K (рис. P.24.9) — одна из вершин квадрата, а M — центрально-симметричная ей точка многоугольника.

Обозначим через  угол AOK. Тогда  По теореме синусов 

Чтобы задача имела решение, должно быть OQ >= OK, т. е. sin (30° + ) = sin . Так как угол а больше угла BOA, то  >= 60°. Кроме того, можно считать, что  = 90°, т. е. 60° =  = 90°. Чтобы для этих углов выполнялось условие

sin (30° + ) = sin ,

необходимо и достаточно, чтобы 75° =  = 90°. Из формулы для KO видно, что с увеличением  диагональ квадрата уменьшается. Следовательно,  нужно выбрать минимальным из возможных, т. е.  = 75°. Тогда , а сторона квадрата равна KO 2.

Ответ.