Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

21.14. Пусть на плоскости проведены m параллельных прямых. Они разобьют ее на m + 1 областей. Если провести еще одну непараллельную прямую, то областей станет 2(m + 1). Предположим, что k непараллельных прямых образуют, пересекаясь с m параллельными прямыми, М_k областей. Если добавить еще одну прямую, пересекающую все имеющиеся, но не проходящую ни через одну из старых точек пересечения, то на этой прямой будет m + k точек пересечения с остальными прямыми, в результате чего образуется m + k + 1 новых областей.

Таким образом,

М_{k + 1} = М_k + m + k + 1.

Так как М_о = m + 1, то

Остается доказать эту формулу методом математической индукции, что сводится к элементарным выкладкам, которые мы оставляем читателю.

Ответ.

Глава 22 Обратные тригонометрические функции

22.1. Введем обозначения:

В этих обозначениях равенство примет вид

2 = /₄ - ,

причем правая и левая части лежат в интервале (0, /₂). Возьмем тангенсы от каждой из частей:

Так как тангенс является монотонной функцией в интервале (0, /₂), то равенство доказано.

22.2. Пусть

Так как 0   + /₂ и

Наше выражение принимает теперь вид

/₄ + arcsin ²/₄.

Поскольку arcsin ²/₄ arcsin ²/₂, то

0  /₄ + /₂,

где  = arcsin ²/₄ и sin  = ²/₄. Найдем

Поскольку мы оказались в интервале монотонности синуса, то остается воспользоваться определением арксинуса.

Ответ. arcsin [^{7 + 1}/₄].

22.3. Рассмотрим сначала первое и третье слагаемые:

arctg (-2) = , tg = -2, -/₂ 0;

arctg (- 1/3 ) = , tg = - 1/3 , -/₂ 0.

Таким образом, -   + 0, что не является областью главных значений какой-нибудь обратной тригонометрической функции. Поэтому прибавим ко всем частям неравенства : 0   +  + . Теперь  +  + попадет в область значений арккотангенса, что обеспечивает взаимно однозначный переход к обратным функциям. Найдем

Следовательно,

 +  + = arcctg (-¹/₇), т. е.  + = -arcctg ¹/₇.

Наше выражение равно arcsin  1/3 - arcctg ¹/₇. Пусть

arcsin 1/3 = , sin = 1/3 , 0 /₂;

arcctg ¹/₇ = , ctg = ¹/₇, 0 /₂.

Так как -/₂   -  /₂, что является интервалом значений арксинуса, то вычислим синус от  - :

sin ( - ) = sin  cos  - cos  sin .

Так как

cos = ²²/₃, cos = ¹/₅₂, sin = ⁷/₅₂,

то

Ответ. arcsin ^{2 - 28}/₃₀. 

22.4. Сумма существует при 0 = x = 1. Введем обозначения и используем определение арксинуса:

Так как сумма  + лежит в интервале [0, ], который является интервалом монотонности косинуса, то имеется взаимно однозначное соответствие между  + и cos ( + ) при условии, что 0 = x = 1. Так как

то  + = /₂.

Ответ./₂ при 0 = x = 1.

22.5. Оценим  = (x^2 + x - 3), если 0 = x = ^{3 - 1}/₂.

Имеем

Следовательно,

где 0 = ³/₂ - 4 -  = /₂. Окончательно получаем

arccos sin  =  - ³/₂ + 4 +  = ⁷/₂ + .

Ответ.⁷/₂ + (x^2 + x - 3).

22.6. При 0 = x = 1 оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем

Следовательно,

и, тем более,

Введем обозначение

arcsin x = , sin  = x, 0 =  = /₂;

Нужно доказать, что  - = /₄, или  - /₄ = . Так как -/₄ = - /₄ = /₄, то  - /₄ и лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку

(перед корнем взят знак плюс, так как cos  >= 0 при 0 = = /₂).

Итак, доказано, что sin ( - /₄) = sin , откуда следует справедливость нашего равенства.

22.7. Так как x -1, то -1 ^2x/_{1 + x}^2 0. Введем обозначения

Следовательно,

-³/₂   + 2 -/₂,

т. е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем

После подстановки получим

т. е.  + 2 = -.

Ответ. -.

22.8. Из уравнения следует, что

arcsin x = /₁₂ + ⁿ/₃.

Поскольку -/₂ = arcsin x = /₂, то возможны лишь три значения n = 0, -1, 1.

Если n = 0, то arcsin x = /₁₂,

Если n = -1, то arcsin x = -/₄,

x₂ = sin (-/₄) = -¹/₂.

Если n = 1, то arcsin x = ⁵/₁₂,

Ответ.

22.9. Если x — корень данного уравнения, то и -x будет его корнем. Поэтому достаточно найти лишь неотрицательные корни. Если x >= 0, то

Перенеся  в правую часть уравнения, получим =  - , причем 0 =  = /₂ и -/₂ =  -  = /₂. Поскольку обе части уравнения находятся в интервале монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому:

sin = sin ( - ).

Последнее уравнение можно записать в виде

добавив к нему условие |^4x/₅| = 1, являющееся в данном случае следствием уравнения. Получаем x₁ = 0.

Остается  а после возведения в квадрат

Делаем проверку иррационального уравнения.

Ответ. ±1, 0.

22.10. Из условия следует, что x 0. В таком случае

Уравнение примет вид  +  = /₃, и обе его части окажутся в интервале (0, ], который является интервалом монотонности косинуса. Следовательно, уравнение

cos ( + ) = cos /₃

равносильно данному. Раскрывая скобки и заменяя тригонометрические функции  и  их выражениями через x, придем к уравнению

После возведения в квадрат получим

4(1 - 4x^2)(1 - x^2) = (4x^2 + 1)^2.

При переходе к последнему уравнению могут появиться посторонние корни из-за того, что обе левые скобки могут стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим условие |2x| = 1.