Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

24.10. Обозначим данную дробь через y. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения

равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 - 4у)^2 - 4у(6у - 2) >= 0, т. е. 8у^2 + 16у - 9 = 0. Ему удовлетворяют значения y, для которых -1 - ³⁴/₄ = y = -1 + ³⁴/₄. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.

Ответ. ³⁴/₄ - 1.

24.11. Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:

аbс = 7,2, аb + ас + bс = 12, а + b >= 5.

Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b >= 5:

аb + ас + bс = аb + с(а + b) >= аb + 5с,

т. е. аb + 5с = 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb, y = 5с. Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = ⁶/₅, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b = 5. Поскольку одновременно а + b >= 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.

Ответ. 2, 3, ⁶/₅.

24.12. Преобразуем данную функцию следующим образом:

Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку

|sin ( + x) sin ( - x)| = 1/2 |cos 2x - cos 2|,

то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = -1, если cos 2 >= 0, 0   = /₄, и при cos 2x = 1, если cos 2 0, /₄   /₂.

В первом случае x = ^(2k + 1)/₂, во втором x = k. И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0   = /₄ наибольшее значение функции равно 2 tg^2 , а при /₄   /₂ равно 2 ctg^2 .

Ответ. 2 tg^2  при 0   = /₄, 2 ctg^2  при /₄   /₂·

24.13. Введем обозначения: arcsin x = , arccos x = . Поскольку  + = /₂, то

^3 + ^3 = ( + )^3 - 3( + ) = ^{^3}/₈ - ³/₂.

Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения . Так как  >= 0, то наибольшее значение следует искать при  0. В этом случае ( 0, 0) можно записать, что

= ( ⁺ /₂)^2 = ^{^2}/₁₆.

Наибольшее значение достигается при  = = /₄. Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при x = ¹/₂ и равно

^{^3}/₈ - ^{3^3}/₃₂ = ^{^3}/₃₂.

Наименьшее значение произведения , где  >= 0, достигается при условии, что  0, причем желательно, чтобы абсолютные величины  и были наибольшими. При x = -1 будет  = -/₂, = . Именно в этой точке произведение достигает минимума, так как  принимает минимальное, а — максимальное из возможных значений. Итак, при x = -1 исходная функция имеет наибольшее значение

^{^3}/₈ + ³/₂ /₂  = ^{7^3}/₈.

Ответ.^{^3}/₃₂, ^{7^3}/₈.

24.14. Сделаем следующие преобразования:

y = 2 sin^2 x + 2 cos^2 x + 4(2 cos^2 x) - 2 sin 2x = 2 + 4(1 + cos 2x) - 3 sin 2x = 6 + 4 cos 2x - 3 sin 2x = 6 + 5(⁴/₅ cos 2x - ³/₅ sin 2x) = (см. указание I) = 6 + 5(sin cos 2x - cos sin 2x) = 6 + 5 sin( - 2x).

Поскольку min sin ( - 2x) = -1, то min y = 6 - 5 = 1.

Ответ. 1.

24.15. Преобразуем данную систему к виду

или

Введем новые переменные:

^{x + 1}/₅ = s, ^y + 2/₅ = t, ^z/₁₂ = v, ^w - 1/₁₂ = u.    (4)

Тогда система примет вид

и для удовлетворяющих этой системе переменных нужно найти

min (y + w) = min (5t + 12u - 1).   (8)

Обратим внимание на то обстоятельство, что (5) и (6) — уравнения окружностей радиуса 1. Поэтому можно положить:

s = sin , t = cos ; v = sin , u = cos .

Тогда для левой части (7) получим

sin cos + sin cos = sin( + ) = 1.    (9)

Учитывая соотношения (9) и (7) одновременно, получим

sin ( + ) = 1, т. е. + = /₂ + 2k,    (10)

или

sin = cos , cos = sin ,    (11)

s = u, t = v.    (12)

Соотношение (7), которое преобразуется теперь в равенство, примет вид

u^2 + t^2 = 1.    (13)

Нам нужно найти min (5t + 12u - 1). Воспользуемся соотношениями (11) и (12), в силу которых u = sin , t = cos . Тогда st - 12u - 1 = 13(⁵/₁₃ - cos  - ¹²/₁₃ sin^3 ) - 1 = 13 cos ( + ) - 1, где cos  = ⁵/₁₃, sin  = ¹²/₁₃. Поэтому min (5t - 12u - 1) = -14.

Ответ. -14.

Образцы вариантов экзаменационных билетов

Московский государственный авиационный институт (технический университет) (МАИ)

1. Сумма первых одиннадцати членов арифметической прогрессии 418. Найдите шестой член этой прогрессии.

2. Решите уравнение

cos 2x = 2 - 23 cos x sin x.

3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равносторонний треугольник. Сечение, проходящее через среднюю линию верхнего основания и одну из сторон нижнего основания, перпендикулярно основаниям призмы. Найдите объем призмы, если известно, что площадь сечения 30 м^2, а радиус окружности, описанной около основания, ¹⁰/₃ 3 м.

4. Решите систему уравнений

5. Решите неравенство

8(-2^x + 3^x)(-2^x - 1 + 3^x)(-2^x + 3^x + 1)(-2^x - 2 + 3^x) + 81^x = 0.