Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Уравнение 28х^2 - 3 = 0, к которому сводится последнее, имеет корни  Из них следует выбрать первый, так как он положителен и так как

Ответ.

22.11. Обозначим

arctg (2 + cos x) = , arctg (2 cos^2 ^x/₂) = .

Так как 2 + cos x 0 и 2 cos^2 ^x/₂ 0, то 0   /₂ и 0 =  /₂.

Уравнение принимает вид  -  = /₄, причем

-/₂   -  /₂ и -/₂ /₄ /₂.

Так как (-/₂, /₂) — интервал монотонности тангенса, то уравнение  -  = /₄ равносильно уравнению tg ( - ) = tg /₄.

Переходя к уравнению

мы можем потерять те корни, для которых tg  или tg  не существует. В нашем случае этого не произойдет, поскольку

tg  = 2 + cos x, tg  = 2 cos^2 ^x/₂,

а правые части существуют всегда. Получаем уравнение

которое после преобразований принимает вид

2 cos^{4 x}/₂ + cos^2 ^x/₂ = 0.

Так как уравнение 2 cos^2 x + 1 = 0 не имеет решений, то остается cos x = 0.

Ответ. (2n + 1).

22.12. Пусть

Так как -/₂   -  = /₂, то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:

sin ( - ) = sin

или

После упрощений получим уравнение

имеющее единственный корень x = 2/3 . Делаем проверку и убеждаемся, что x =  2/3 является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.

Ответ. 2/3 .

22.13. Введем обозначения

Наше уравнение принимает вид  + +  =  или  + =  - . Обе части уравнения лежат в интервале (-, ). Если мы возьмем котангенсы от обеих частей уравнения, то можем потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это — единственное значение из интервала (-, ), в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство  + =  -  = 0. Если  + = 0, то arctg (1 - x) = arctg x, откуда 1 - x = x и x = 1/2 . При x = 1 получим, что  -  = arctg ³/₂ - arctg ³/₂ = 0. Таким образом, x₁ =  1/2 — корень уравнения. Если  +  /= 0, то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:

ctg ( + ) = ctg ( - ),

что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций , ,  и  через x, получим уравнение

которое равносильно системе

Получаем два значения неизвестного: x₂ = 0, x₃ = - 1/2 . Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.

Ответ. 0, ± 1/2 .

Глава 23 Область определения. Периодичность

23.1. С одной стороны, log₃sin x = 0, так как sin x = 1, а с другой стороны, log₃sin x >= 0, так как это выражение стоит под знаком квадратного корня. Остается единственная возможность:

log₃sin x = 0, sin x = 1, x = ⁽⁴ⁿ + 1)/₂.

Ответ.⁽⁴ⁿ + 1)/₂.

23.2. Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему

которая эквивалентна неравенству

0  x^2 - x - 1 1, или (х^2 - x - 1)(х^2 - x - 2) 0,

т. е.

(x - ^{1 - 5}/₂)(x - ^{1 + 5}/₂)(x + 1)(x - 2) 0.

Ответ. -1 x  ^{1 - 5}/₂; ^{1 + 5}/₂ x 2. 

23.3. Данное выражение принимает действительные значения, если x удовлетворяет неравенству

которое равносильно неравенству

Его можно заменить системой

Ответ. ³/₂ x = 4.

23.4. Чтобы существовал арккосинус, необходимо и достаточно, чтобы

-1 = x^2 - Зх + 1 = 1,

т. е.

(х^2 - Зх + 2)(х^2 - Зх) = 0, или x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0,

откуда

0 = x = 1, 2 = x = 3.

Из найденных интервалов нужно исключить точки, в которых tg 2x не существует, т. е. числа x = ⁽²ⁿ + 1)/₄. Два из этих чисел: x = /₄ и x = ³/₄ лежат в найденных интервалах.

Ответ. 0 = x /₄, /₄ x = 1, 2 x ³/₄, ³/₄ x = 3.

23.5. Данное выражение принимает действительные значения, если удовлетворяется система неравенств

Решением этой системы будет часть плоскости, лежащая внутри параболы y = x^2, вне круга x^2 + y^2 = 1 и ниже прямой y = 2, причем точки, лежащие на границе и принадлежащие или прямой, или параболе, не входят в область, а точки, лежащие на окружности (кроме точек А и С — рис. P.23.5), входят в область определения.

23.6. Способ 1. Пусть Т — период функции. Тогда

cos (x + Т)^2 = cos x^2

при всех x. Если x = 0, то получим cos Т^2 = 1, откуда Т^2 = 2n. Если x = Т2 , то cos (2 + 1)^2Т^2 = cos 2Т^2, откуда или

(2 + 1)^2Т^2 + 2Т^2 = 2k, или (2 + 1)^2Т^2 - 2Т^2 = 2m,

т. е.

либо (2 + 22)Т^2 = 2k, либо (1 + 22)Т^2 = 2m.

Подставляя в оба выражения Т^2 = 2n, получим соответственно

5 + 22 = ^k/_n или 1 + 22 = ^m/_n,

что невозможно, так как слева стоят иррациональные числа, а справа — рациональные.

Способ 2. Найдем корни функции cos x^2:

Рассмотрим положительные корни

Предположим, что Т 0 — период функции. Тогда, если при x = х₁ функция равна нулю, то и при x = x₁ + Т она тоже равна нулю. Другими словами, х₁ + Т = x_m. Аналогично x₂ + Т = х_k. Вычитая одно равенство из другого, получим

т. е.

Возведем в квадрат:

После вторичного возведения в квадрат получим

Это равенство возможно лишь при , так как все остальные его элементы — целые. Однако числа k и m выбраны так, что k >= 3 и m >= 2, т. е. k + m  3.

23.7. Если f(x) — периодическая функция с периодом Т, то при всех x должно выполняться тождество

sin (x + Т) + cos [а(x + Т)] = sin x + cos аx.

Положив в этом тождестве x = 0, x = -Т и x = Т, получим