Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что ^b/_a = ^c/_b = q — знаменателю прогрессии, а также тем, что 

19.5. Имеем

Ответ.

19.6. Преобразуем выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

После извлечения квадратного корня получим

19.7. Из условия следует, что

а следовательно, (а₁ - a₃)^2 = 0, а₁ = а₃. Поскольку , то а₂ = а₁. Таким образом, а₁ = а₂ = а₃. Решим теперь систему уравнений

Первое уравнение можно последовательно преобразовать:

Подставив найденное значение x во второе уравнение системы, получим

Теперь можно найти x:

x = -2 log₂ y =  1/2 log₂ 5.

Ответ.

19.8. Пусть q — знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета

x₁(1 + q) = 3, x₁q^2(1 + q) = 12, x₁^2q = A, x₁^2q⁵ = B.

Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим q^2 = 4.

Так как последовательность по условию является возрастающей, то q = 2, откуда x₁ = 1, что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.

Из двух вторых уравнений определяем А и В.

Ответ.А = 2, В = 32.

19.9. Пусть x₂ = x₁q, x₃ = x₁q^2. Тогда по теореме Виета, примененной к данному уравнению, имеем

x₁ + x₁q + x₁q^2 = 7,    x₁^2q + x₁^2q^2 + x₁^2q^3 = 14.

Из первого уравнения получим x₁(1 + q + q^2) = 7. Это позволяет следующим образом преобразовать левую часть второго уравнения:

x₁^2q(1 + q + q^2) = 7x₁q,

откуда x₁ = ²/_q. Подставим выражение для x₁ в первое уравнение, получим

^{2(1 + q + q^2)}/_q = 7,  т. е.  2q^2 - 5q + 2 = 0,

откуда

q₁ = 1/2 , q₂ = 2.

Теперь для каждого из этих двух значений q можно найти x₁. При q = 1 получим, что x₁ = 4, т. е. прогрессия убывающая. Во втором случае при q = 2 имеем x₁ = 1, и прогрессия — возрастающая.

Ответ. 1, 2, 4.

19.10. Из условия следует, что

Произведение n первых членов прогрессии равно

Ответ. 2.

19.11. Пусть а — цифра сотен, d — разность прогрессии. Искомое число делится на пять, если его последняя цифра либо 0, либо 5, т. е. либо а + 2d = 0, либо а + 2d = 5. Чтобы число делилось на девять, сумма его цифр должна делиться на девять. Но поскольку сумма трех цифр может изменяться от нуля до двадцати семи, имеются три возможности:

а + (а + d) + (а + 2d) = 9; 18; 27.

Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999 не делится на пять.

Пусть а + 2d = 0. Если а + d = 3, то d = -3, а = 6. Получим число 630. Если а + d = 6, то d = -6, а = 12, что невозможно.

Пусть теперь а + 2d = 5. Когда а + d = 3, получим d = 2, а = 1, что даст число 135. Когда а + d = 6, получим d = -1, а = 7, что приводит к числу 765. Поскольку все возможности исчерпаны, задача решена.

Ответ. 630; 135; 765.

19.12. Задачу можно решить, обозначив через x цифру единиц, а через q знаменатель прогрессии. Используя условия задачи, мы придем к двум уравнениям:

100xq^2 + 10xq  + x - 594 = 100x + 10xq + xq^2, (x + 1) + (xq^2 + 1) = 2(xq + 2).

Первое уравнение можно переписать в виде

x(q^2 - 1) = 6,

а второе — в виде

x(q^2 - 2q + 1) = 2,   т. е. x(q - 1)^2 = 2.

Деля первое уравнение на второе, получим

^{q + 1}/_q - 1 = 3,   q = 2.

Следовательно, x = 2.

Задачу можно решить перебором, если воспользоваться тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию, причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594). Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842, 931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, так как 931 - 594 /= 139 и 964 - 594 /= 469. Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.

Требование, чтобы числа x + 1, хq + 2, хq^2 + 1 образовывали арифметическую прогрессию при таком решении, оказывается лишним.

Ответ. 842.

19.13. Пусть в колхозе было n комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за x ч непрерывной работы, а при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле y ч. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 ч, а производительность одного комбайна ¹/_x, то

²⁴/_x n = 1,   т. е. 24n = x.

Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали п¹/_xy часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал n - 1 ч, второй n - 2, а (n - 1)-й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение

^{n - 1}/_x + ⁿ - 2/_x + ... + ¹/_x + n¹/_xy = 1,

или

^{n - 1}/₂n + ny = x.

Так как x = 24n, то из этого уравнения можно выразить y через n:

y = 24 - ⁿ - 1/₂.

Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения

(n + y - 7)(n - 5)¹/_x = 1.

Подставляя вместо x и y их выражения через n, придем к квадратному уравнению

( n + 17 - ⁿ - 1/₂)(n - 5) = 242n,

т. е. n^2 - 18n - 175 = 0.

Решая это уравнение, найдем n₁ = 25, n₂ = -7. Второй корень не имеет смысла.

Ответ. 25.

19.14. Пусть братьям a, aq и aq^2 лет. Тогда они получат соответственно x, xq и xq^2 p.

Через 3 года им будет a + 3, aq + 3 и aq^2 + 3 лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:

aq^2 + 3 = 2(a + 3).  (1)

При дележе через 3 года младший брат получит x + 105, средний xq + 15. Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы:

x + xq + xq^2 - (x + 105) - (xq + 15) = xq^2 - 120.