Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

18.5. Пусть некто родился в  году, где x - число десятков, а y — число единиц. В 1901 году ему было 1901 -  лет.

Если y 1, то, произведя вычитание, получим число , где 9 - x и 11 - y — цифры, образующие это число.

По условию сумма цифр числа  равна сумме цифр числа

1 + 8 + x + y = (9 - x) + (11 - y),    т. е. x + y = 5,5,

что невозможно, так как x и y  — целые.

Если y = 1 (это значит, что либо y = 0, либо y = 1), после вычитания получим число , где 10 - x и 1 - y цифры, образующие это число. Когда x /= 0, это число состоит из двух цифр, а когда x = 0 — из трех, причем первые две цифры 1 и 0. Пусть x /= 0. Запишем сумму цифр для этого числа:

1 + 8 + x + y = (10 - x) + (1 - y), т. е. x + y = 1.

Так как x /= 0, то y = 0, а x = 1. Это означает, что некто родился в 1810 году.

Пусть теперь  x = 0. Тогда получим уравнение

1 + 8 + y = 1 + (1 - y),

откуда  y = -3,5, что невозможно.

Ответ. В 1810 году.

18.6. Пусть одна часть имеет массу x карат, тогда другая — p - x карат. Цена этих частей равна lх^2 и l(p - x)^2 соответственно, где l — коэффициент пропорциональности. Так как цена целого бриллианта была равна lр^2, то получим уравнение

lр^2 = k[lх^2 + l(p - x)^2], которое после упрощений примет вид

Проведем исследование.

По смыслу задачи k 1, p 0. Следовательно, подкоренное выражение будет неотрицательным, если k = 2, т. е. 1  k = 2.

Так как

(мы знаем, что k 1), то оба значения x неотрицательны. Легко проверить, что p - x₁ = x₂.

Ответ.

18.7. Примем расстояние, которое туристам нужно пройти на моторной лодке, за единицу. Через x кг/ч обозначим расход горючего в течение часа работы двигателя в режиме, обеспечивающем собственную скорость лодки v₁, а через y кг/ч — расход горючего при работе двигателя во втором режиме (v₂). Весь путь лодка пройдет за  ч при работе двигателя в первом и во втором режимах соответственно. Так как расход горючего будет одинаковым, то

Если скорость течения реки будет равна ku, то из условия получим второе уравнение

Найдя из первого уравнения x, подставим во второе. Получим

откуда

Так как k 1, то y 0 только при v₂ v₁ и ku v₁. Общий расход горючего равен

Ответ.

18.8. Обозначим через x, y, z, s и t количество десятков порций стоимостью по 7, 9, 11, 13 и 15 p. за порцию соответственно.

Условия задачи можно переписать в виде системы

Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 7, получим

y + 2z + 3s + 4t = 29

или (так как y = 2t)

2z + 3s + 6t = 29.

В результате сравнения второго и третьего уравнений найдем

z + s + t = 9.

Умножим это уравнение на два и вычтем из предыдущего уравнения:

s + 4t = 11.

Поскольку s и t — натуральные, t может принимать лишь два значения: t = 1 и t = 2, иначе уравнение s + 4t = 11 не выполняется. Если t = 1, то s = 7, а y = 2. Это противоречит требованию y s. Следовательно, t = 2, s = 3, y = 4. Нетрудно найти, что x = 5, z = 4.

Ответ. 50 порций мороженого по 7 p., 40 порций по 9 p., 40 порций по 11 p., 30 порций по 13 p., 20 порций по 15 p.

18.9. Обозначим время, за которое плоты прошли путь по озеру, через x. Так как весь путь они прошли за 11,5 суток, т. е. за 276 ч, то путь AC (буквой С обозначено устье реки) — за 276 - x ч, а скорость течения реки равна ^AC/_{276 - x}.

Выразим скорость течения реки с помощью остальных условий задачи. Если пароход проходит путь от А до В за 40 ч, а путь от С до В за x ч (идет в два раза быстрее, чем с плотами), то скорость парохода вниз по течению реки равна  Аналогично его скорость вверх по течению равна . Если вычесть из первой скорости вторую, то получим удвоенную скорость течения реки. Мы пришли к уравнению

решая которое найдем: x₁ = 24, x₂ = 136. Второй корень посторонний, так как 40 - ^x/₂ и 48 - ^x/₂ становятся отрицательными, что не имеет физического смысла.

Ответ. 24 ч.

18.10. Пусть v₁, v₂ и v₃— скорости пловцов, а x - расстояние AC (рис. P.18.10).

Приравниваем времена, за которые пловцы проплыли путь AC:

Из условия встречи в точке D третьего и второго пловцов получим

а из условия встречи в точке E третьего и первого:

Так как в уравнение (4) входят v₂ и v₃, а в уравнение (5) v₁ и v₃, то уравнения (3) перепишем в виде

Преобразуем теперь уравнения (4) и (5):

и воспользуемся заменой (6). Получим систему

из которой проще исключить v₃. Найдем x = 10. Следовательно, v₃ = 1.

Ответ. 1 м/с.

18.11. Обозначим через x часть сосуда, занимаемую раствором кислоты, а объем всего сосуда примем за единицу. После того как сосуд долили q%-м раствором, количество концентрированной кислоты стало

^px/₁₀₀ + ^q(1 - x)/₁₀₀,

а новая концентрация

p₁ = px + q(1 - x) = (p - q)x + q.

Если вместо p подставить р₁, то получим р₂, аналогично можно получить р₃ и т. д. Приходим к рекуррентному соотношению

р_k = x(р_{k - 1} - q) + q.

Вычислим р₂:

р₂ = x(р₁ - q) + q = х^2(p - q) + q.

По индукции легко доказать, что

р_k = x^k(p - q) + q.

Так как p_k = r, то получим уравнение

r = x^k(p - q) + q,

откуда

Ответ. где либо r q, p q, либо r q, p q.