Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)

Швейцарский математик Леонард Эйлер был одним из самых выдающихся математиков в истории. Он был невероятно одарен, обладал феноменальной памятью и превосходно считал в уме. Благодаря зтомудаже слепота, настигшая его в 1766 году, не помешала ему заниматься наукой еще 17 лет, до самой смерти. Он умер в России, куда его пригласила Екатерина II. Императрицу привлекла его известность, да и рекомендации другого швейцарского математика, Даниила Бернулли, были не лишними. Эйлер с перерывами жил в России с 1737 года. При подготовке полного собрания только научных его трудов оказалось, что оно насчитывает свыше 80 томов; Эйлер окончательно ввел в употребление греческую букву я для обозначения числа пи и разработал многие другие обозначения, например f(x) для обозначения функций от х, i для мнимой единицы и Σ для обозначения суммы. Его вклад в науку огромен: он занимался исчислением бесконечно малых, функциями, теорией чисел, топологией, теорией графов, физикой и астрономией. Его именем назван астероид. Эйлер открыл множество рядов, в которых фигурирует π.

Марка СССР, выпущенная в 1957 году к 250-летию со дня рождения Эйлера.

Могила Людольфа ван Цейлена в Лейдене. На надгробии высечены 35 знаков π, которые он рассчитал.

Математик и автор научно-популярных книг Клиффорд Пиковер считал формулу Стирлинга (1692–1770)

очень красивой и полагал, что ею можно любоваться как произведением искусства. Не знаем, разделит ли читатель подобную точку зрения, но формула действительно примечательна: она объединяет экспоненту от n, число n, возведенное в степень n, его же факториал (n! = n∙(n — 1)∙(n — 2)∙… ∙2∙1) и корень из этого числа.

Глава 6 Второй взгляд на бесконечность

Компьютеры бесполезны. Они могут только давать ответы.

Пабло Пикассо

Обратим взгляд на бесконечные знаки π. Эта бесконечность находится от нас на расстоянии вытянутой руки. Чтобы понять ее, возможно, не требуется столь широкого воображения, каким обладал Георг Кантор.

Нобелевский лауреат по физике Ричард Фейнман (1918–1988) увидел среди бесконечных знаков π любопытную последовательность девяток:

Эта последовательность начинается с 762-й цифры и называется точкой Фейнмана. Учитывая, что в десятичной дроби со случайными знаками вероятность появления семи девяток подряд крайне мала (всего 0,08 %), открытие Фейнмана тем более важно. Но имеет ли это какое-нибудь значение? Неизвестно, сколько еще подобных тайн хранит в себе π.

Другая примечательная последовательность — 0123456789 — начинается с 17387594880-й цифры. Ее обнаружил уже не Фейнман, а компьютерная программа.

Взглянем на магический квадрат, то есть квадрат, в котором сумма чисел в строках, столбцах и диагоналях одинакова. В нашем случае эта сумма равна 65.

Этот магический квадрат составил американец Т. Лобек.

Теперь посмотрим на знаки числа π. Для каждого числа в квадрате (обозначим его за n) возьмем n-й знак π. Например, для первого числа в квадрате, 17, возьмем 17-й знак π, который равен 2. Запишем его в магическом квадрате вместо числа 17 и так далее. Таким образом мы получим новый квадрат. Запишем на полях суммы чисел в его строках и столбцах:

Живительно, но каждая сумма в столбце встречается среди сумм чисел в строках. Это похоже на фокус, но в мире математики никакая магия не действует. Как же это возможно? Это тоже неизвестно. Нам почти ничего не известно ни о π, ни о бесконечности…

Обезьяны, печатные машинки и библиотеки

Совершим прогулку по неизведанному пути, возможно, несколько далекому от числа π. Мы изучим вершины человеческой мысли и приблизимся к границам неизвестного, но на этом пути мы попадем в мир мифов и легенд.