Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

В англосаксонской традиции Дарвин и дарвинизм занимают особое место. Публикация «Происхождения видов» оскорбила многих «благочестивых граждан», которых задела мысль о том, что эволюция человека и животных шла одним путем. Фраза «человек произошел от обезьяны» — весьма грубое изложение дарвиновских идей, но именно так вкратце формулируется суть эволюционизма. Следовательно, любое упоминание обезьян немедленно воскрешает в памяти научные споры. С другой стороны, клавиатура печатной машинки в викторианскую эпоху считалась чем-то современным и высокотехнологичным. Обезьяны и печатные машинки — настоящая взрывоопасная смесь. История о печатных машинках и обезьянах, ставшая сейчас классической, в свое время выглядела одновременно и новаторской, и провокационной.

Представим, что нескольким обезьянам вручили по печатной машинке. Такой эксперимент был проведен с настоящими макаками, и оказалось, что они печатают бесчисленные страницы, полные букв «s», которая по какой-то причине кажется им наиболее привлекательной. Предположим, что в нашем мысленном эксперименте обезьяны ведут себя ответственно и печатают более или менее случайные последовательности символов на листах, и этот процесс длится очень и очень долго.

Так называемая теорема о бесконечных обезьянах гласит, что абстрактная обезьяна, ударяя случайным образом по клавишам печатной машинки в течение неограниченно долгого времени, рано или поздно напечатает любой наперед заданный текст. Иными словами, за неограниченно долгое время группа обезьян воспроизведет, например, «Дон Кихота» с точностью до буквы.

С точки зрения теории вероятностей, «рано или поздно» в формулировке теоремы означает «в пределе» или «с вероятностью, стремящейся к единице». Подобная формулировка не содержит никакой неоднозначности и является математически точной. Однако это не противоречит следующему факту: по прошествии невообразимо большого промежутка времени обезьяны могут не напечатать ничего осмысленного. Теорема утверждает лишь то, что вероятность стремится к единице (событие произойдет со стопроцентной вероятностью), если промежуток времени стремится к бесконечности.

Множество обезьян напечатает любой заданный конечный текст, располагая неограниченно долгим временем.

В более литературном варианте эту теорему изложил великий аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес, который уделял пристальное внимание бесконечности и создал множество образов Вселенной. В рассказе «Вавилонская библиотека» из книги «Вымыслы» (1944) Борхес описывает воображаемую библиотеку, в которой хранятся все возможные книги. Размер книги ограничен N страницами или знаками, при этом N достаточно велико, чтобы одна книга вместила даже самую большую энциклопедию. По Борхесу, в этой библиотеке содержатся все возможные перестановки печатных знаков (символов, знаков пунктуации и пробелов, разделяющих слова), напечатанные в виде книг.

Проведя некоторые вычисления, получим, что воображаемая библиотека Борхеса состоит минимум из 25^1132000 ~ 1,956∙10^1834097 книг.

Мы не будем приводить здесь подробное доказательство теоремы о бесконечных обезьянах, поскольку оно слишком объемно и требует объяснения многих понятий из теории вероятностей, но в общих чертах можно предположить, что теорема верна.

Допустим, что на клавиатуре 60 клавиш. Простая последовательность символов, например to be or not to be (знаменитое «быть или не быть» Гамлета), требует 18 нажатий. Вероятность того, что эта фраза не будет напечатана после n попыток, равна

(1 - (1/60¹⁸))ⁿ,

и при n —> оо это выражение стремится к нулю. Чтобы упростить расчеты, предположим, что вместо одной обезьяны за печатными машинками сидят k обезьян. Казалось бы, этот предел не изменится, но интуитивно понятно, что он будет достигнут быстрее.

Несколько более сложные рассуждения приводят к ожидаемому выводу: с точки зрения математики нет никаких сомнений в том, что за неограниченное время обезьяны напечатают всего «Гамлета». Любая книга, по сути, лишь конечная последовательность повторяющихся знаков. Бесконечное число обезьян напечатает любую книгу за бесконечное время.

Но с бытовой точки зрения кажется невероятным, что эта задача будет выполнена за конечное время. Какую ценность нам несет знание о том, что обезьяны могут напечатать «Дон Кихота», если для этого им потребуется время, превышающее возраст Вселенной? Чтобы написать хотя бы что-то осмысленное, хотя бы простую фразу, не говоря уже о «Дон Кихоте», обезьянам потребуется невероятно длинный промежуток времени.