Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Более того, любой физик — эксперт по вопросам термодинамики — скажет, что эта задача возможна математически, но невозможна с точки зрения физики. Вселенная содержит конечное число частиц, и время в ней также конечно. Даже если Вселенная содержит гугол частиц (это число придумал девятилетний племянник математика Эдварда Казнера, оно равняется 10¹⁰⁰), а Большой взрыв произошел 10 миллиардов лет назад, и даже если число обезьян будет равно числу частиц во всей Вселенной, вероятность того, что обезьяны за это время напечатают «Гамлета», будет ничтожно мала.

Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес описал огромную библиотеку, в каждой книге которой ровно 410 страниц.

Рассказ Борхеса «Всемирная библиотека» намного поэтичнее, и с ним не сравнится никакое описание автора этой книги. Процитируем фрагмент этого произведения, в котором изображена эта удивительная библиотека:

«В ее слепых томах заключено все. Буквально все: скрупулезная история будущего, “Египтяне” Эсхила, точное число раз, когда воды Ганга отражали полет сокола, хранимое в тайне подлинное имя Рима, энциклопедия, которую мог бы создать Новалис, мои сны и полусны утром четырнадцатого августа 1924 года, разгадка теоремы Пьера Ферма, ненаписанные главы “Эдвина Друда”, те же главы в переводе на язык племени гарамантов, парадоксы о природе Времени, придуманные и не опубликованные Беркли, железные книги Уризена, отроческие эпифании Стивена Дедала, к смыслу которых подступятся лет через тысячу, гностическое Евангелие Василида, песни сирен, точнейший каталог Библиотеки, справочник неточностей этого каталога. Буквально все, но на одну осмысленную строку или достоверное свидетельство здесь будут приходиться миллионы безумных какофоний, груды словесного мусора и неразберихи. Буквально все, но пройдут поколения людей, прежде чем головокружительные полки — полки, затмившие свет и приютившие хаос, — подарят им хоть одну связную страницу».

(Хорхе Луис Борхес, «Всемирная библиотека»)

Бесконечные знаки числа π

Все, о чем мы только что рассказали, достаточно интересно и при этом не так далеко от числа π и его бесконечных знаков, как может показаться. Если вместо обычных пишущих машинок в нашем мысленном эксперименте дать обезьянам цифровые клавиатуры, то мы получим более или менее произвольные последовательности цифр. Один очень длинный ряд цифр. А что такое π, как не длинный ряд цифр?

В библиотеке, описанной Борхесом, могут храниться книги, где вместо литературных шедевров (большая часть из которых представляет собой лишь бессмысленную последовательность знаков) будут напечатаны последовательности цифр, имеющие начало и конец.

Но существует принципиальная разница между нашим мысленным экспериментом с печатными машинками, библиотекой Борхеса и последовательностью цифр числа π. Различие в том, что в первом случае речь идет о книгах или текстах конечной длины, а число знаков π бесконечно.

Ни одна обезьяна в нашем эксперименте не сможет напечатать π и ни одна библиотека, сколь велика бы она ни была, не сможет вместить число π и все его знаки. Мы мельком взглянули на бесконечность, но бесконечность, заключенная в числе π, смотрит на нас — невозмутимая, недоступная.

Недоказуемая нормальность числа π

Является ли π нормальным числом? Парадоксально, но этим вопросом, на который пока нет ответа, задаются многие математики. Говорят, что иррациональное число является нормальным в десятичной системе счисления, если в его десятичной записи цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 встречаются с одинаковой частотой. Это же справедливо для последовательностей из двух цифр от 00 до 99, из трех цифр от ООО до 999 и так далее.

Если число является нормальным во всех системах счисления, говорят, что оно является абсолютно нормальным.