Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Это не выполняется для числа π, так как существуют конечные и относительно простые алгоритмы по расчету его знаков, причем отдельных знаков, находящихся на определенных позициях. Получается, что число π не может быть абсолютно случайным. Например, существует программа из 158 символов, позволяющая рассчитать 2400 знаков π. Проще говоря, можно сказать, что π является случайным, но не абсолютно случайным.

Последовательность знаков π кажется нам подчиненной воле случая. До сих пор не найден образец или эталон, который позволил бы определить, какая цифра находится на данной конкретной позиции. Да, для этого существуют алгоритмы, использующие формулу ВВР и аналогичные, но не существует никакого эталона или образца. Предполагается, что π является «не абсолютно случайным», но доказательство этому до сих пор не найдено.

Если бы любая последовательность знаков π была случайной, π являлось бы нормальным числом. Но обратное в общем случае неверно: число может быть нормальным и очевидно не являться случайным. Так называемое число Чамперноуна, о котором мы поговорим несколько позже, является нормальным, но не случайным, так как способ его построения объясняется несколькими словами.

Недоступная универсальность числа π

Ограничимся десятичной системой счисления для простоты рассуждений. Будем называть число универсальным, если его можно представить в виде десятичной дроби, в записи которой содержатся все возможные последовательности цифр. Если мы каким-либо способом преобразуем цифры в буквы, то в записи числа π будет содержаться «Гамлет», «Дон Кихот», эта книга или любая из книг всемирной библиотеки Борхеса, диссертации и их опровержения, научные труды и их копии, отличающиеся от оригинала на единственную букву, бессмысленные наборы букв и длинные последовательности повторяющихся символов. Все это будет содержаться в записи числа π и будет вечно ожидать своего читателя.

Вернемся ненадолго к Карлу Сагану и его роману «Контакт». В этом романе инопланетяне поручают доктору Эрроуэй найти некое сообщение предположительно божественного происхождения, которое с момента появления Вселенной зашифровано в самой природе, точнее в знаках π (причем записанных по основанию И, но не будем углубляться в детали). Начиная с определенного знака, спустя много миллионов цифр после запятой, цифры складываются в четкую последовательность из нулей и единиц. Если расположить их определенным образом, то получится изображение квадрата со вписанной в него окружностью. Является ли существование подобного квадрата доказательством существования Творца?

Если сложить первые 20 цифр π, получим 100. Если сложить первые 144 цифры, получим апокалиптическое число зверя 666 из «Откровения Иоанна Богослова». Но мы не вправе считать подобные совпадения проявлением чего-то высшего, поскольку они зависят от выбранной системы счисления, которая целиком и полностью придумана человеком.

Так, Дэвид Чамперноун (1912–2000) придумал нормальное число по основанию 10. Он обнаружил это число в 21 год, еще не закончив обучение. Это пример трансцендентного числа, которое одновременно является нормальным и универсальным. Оно определяется очень просто: достаточно записать по порядку все натуральные числа:

С₁₀ = 0,123456789101112131415161π81920212223…

Нет никаких сомнений, что это число является универсальным, так как в десятичной записи числа Чамперноуна встречается любая последовательность из N цифр. Оно обозначается С₁₀, где 10 означает десятичную систему счисления. Кроме этого, существует бесконечное множество вариантов С₁₀, обладающих теми же свойствами.

Оставим дальнейшее рассмотрение этого вопроса читателю в качестве упражнения. Следует добавить, что так называемое число Коупленда — Эрдёша, формируемое аналогичным способом, но только из простых чисел, также является нормальным (по основанию 10):

0,235711131719232931…

С определенной точки зрения особенность числа π, о которой пишет Саган, не является чем-то уникальным. Числа, содержащие в себе круг, образованный нулями и единицами, встречаются не так уж редко. Фактически существует бесконечное множество таких чисел, но они не связывают между собой длину и диаметр окружности.

Является ли π универсальным числом? Неизвестно. Известно лишь, что все универсальные числа являются нормальными, но это нисколько не помогает найти ответ на этот вопрос.

Что можно и что нельзя доказать