Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Чешский математик и логик Курт Гёдель (1906–1978) доказал утверждение, которое смущает умы и ставит пределы человеческому знанию. Представим логическую систему с теоремами и аксиомами, которая также описывает элементарные арифметические операции. Например, это может быть обычная математика. Можно ли представить, что она содержит противоречие? «Что за ерунда!» — скажет большинство. Возможно ли, что она является неполной? Может ли она содержать формулы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть методами этой логической системы? Большинство также скажет, что это невозможно. Как может быть неполной область знаний, содержащая правила элементарной арифметики? Любая теорема верна либо неверна. Возможно, чтобы окончательно узнать это для некоторых теорем, потребуется много времени, но однажды они будут доказаны либо опровергнуты. Наглядный пример этому — теорема Ферма: прошло несколько веков, прежде чем было получено ее доказательство.

Гёдель доказал, что любая формальная система является неполной или противоречивой и не может являться полной и непротиворечивой одновременно. Если она является полной и любое утверждение в ней можно доказать или опровергнуть, то какое-то из ее положений противоречиво. Если же система не содержит противоречий, то, по Гёделю, она является неполной. Всегда будет существовать утверждение, которое нельзя будет доказать или опровергнуть.

КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА

Георг Кантор провел большую часть жизни в попытках доказать гипотезу, которую можно сформулировать так: пусть А — счетное множество, кардинальное число которого равно Х₀. Определим как кардинальное число Ф(А), где Ф(А) является множеством подмножеств А:

|Ф(А)| = Х₁

Обозначим количество вещественных чисел, или кардинальное число множества вещественных чисел, за с и назовем его континуумом. Кантор пришел к следующему неравенству:

Х₀ < c < Х₁.

Он был точно уверен, что между Х₀ и Х₁ не может находиться никакого кардинального числа, так как с = Х₁. Это так называемая континуум-гипотеза.

В 1963 году американский математик Пол Коэн (1934–2007) доказал, что эта гипотеза является недоказуемой, поэтому ее можно считать истинной или ложной. При этом в общей математике ничего не изменится.

* * *

Гёдель поставил нас в очень интересное положение. Бертран Рассел в шутку говорил, что чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. Рёдель окончательно испортил дело. Мы также не знаем, сможем ли мы когда-либо что-либо доказать. Теорема Гёделя не выдумка, так как уже найдены некоторые недоказуемые утверждения, среди которых — континуум-гипотеза.

Очевидно, что недоказуемые утверждения не следует искать среди общеупотребительных. Если недоказуемость какого-либо утверждения как-то повлияет на другие области стандартной математики (яркий пример — теорема Ферма), то маловероятно, что мы имеем дело с гёделевским утверждением.

Вспомним последние вопросы, которые перед нами поставило число π. Есть ли на них ответ? На данный момент нет. Будет ли он получен в будущем? Возможно.

Мы не заявляем, что многие утверждения о π являются недоказуемыми. Многие полагают, что эти утверждения будут недоказуемы, если их доказательство или опровержение не повлияет на «стандартную» математику.

Допустим, что некоторые утверждения о числе π связаны с бесконечностью — весьма тонкой областью, расположенной на переднем рубеже математики. Именно в этой области выводы Гёделя уже получили подтверждение.