Статьи

Для этого я сошлюсь на иллюстрацию 6, где представлен шар М с радиусом r и с центром С, находящимся на расстоянии R от оси О; шар разделен на две равные части тангенциальной плоскостью pp, как показано, при этом нижняя часть сферы заштрихована для распознавания. Кинетическая энергия шара, при условии, что он совершает n оборотов в секунду вокруг О, определяется согласно первому варианту выражения как E = ½MV_e² = ½M(2πR_gn)², где M — масса, a R_g — радиус вращательного движения. Но, как говорилось в пояснении к иллюстрации 4, мы также имеем выражение Е = ½MV² + ½I_eω², где V = 2πRn есть скорость центра тяжести С, а I_e — момент инерции шара, находящегося в окрестности параллельной оси, проходящей через С и равный ²/₅Мi², так что Е = ½М(2πRn)² + ¹/₅Мr²(2πn)². Ни одно из этих двух выражений для E не характеризует фактическое состояние тела, но первое, конечно, предпочтительнее, так как передает в сущности идею единого движения вместо двух, из которых одно не имеет основы для существования. Я берусь прежде всего доказать, что не существует вращающего момента, или вращательного усилия, вокруг центра

С, и что кинетическая энергия воображаемого осевого вращения шара в математическом смысле равна нулю. Это приводит к необходимости считать две половины, разделенные тангенциальной плоскостью pp, полностью независимыми одна от другой. Пусть с₁ и с₂ будут их центрами тяжести, тогда С_c1 = С_c2 = ³/₈r. Чтобы определить кинетическую энергию полусфер, мы должны найти их радиусы движения по окружности, что можно сделать, определив моменты инерции I_c1 и I_с2 в окрестности параллельной оси, проходящей через с₁ и с₂. Можно избежать сложных вычислений, если помнить, что момент инерции любой из полусфер в окрестности оси, проходящей через С, выражается формулой Ic = ½ × ²/₅Mr² = ¹/₅Mr², и поскольку М = 2 т, то I_c

= ²/₅mr². Это можно выразить через моменты I_c1 и I_с2, а именно: I_c = I_с1 + m(³/₈r)² = I_c2 + m(³/₈r)². Следовательно, I_c1 = I_c2 = I_c — m(³/₈r)² =

²/₅mr² — ⁹/₆₄mr² = ⁸³/₃₂₀mr². Следуя этому же правилу, можно найти моменты инерции полусфер в окрестности оси, проходящей через центр движения О.

Определяя моменты для верхних и нижних половин шара, соответственно, I_O1 и I_O2, мы получим I_O1 = m(R + ³/₈r)² + I_с1 = m(R + ³/₈r)² + ⁸³/₃₂₀mr² и I

_O2 = m(R — ³/₈r)² + I_с2 = m(R — ³/₈r)² + ⁸³/₃₂₀mr²

Таким образом, для верхней половины сферы радиус движения по окружности

и для нижней половины

Они представляют собой расстояния от центра О, вокруг которых массы полусфер могут концентрироваться, и тогда алгебраическая сумма их энергий, которые полностью относятся к поступательному движению, а энергии осевого вращения при этом равны нулю, будет равна совокупной кинетической энергии шара в целом. Значение этого факта поможет понять ссылка на иллюстрацию 7, в которой две массы, уплотненные до точек, представлены закрепленными на невесомых нитях длиной R_g1 и R_g2, которые специально показаны смещенными, но их следует представлять совпадающими. Можно без труда увидеть, что если обе нити отрезать, в тот же момент массы отлетят по касательной к своим орбитам, при этом угловое движение станет прямолинейным, и не произойдет никакого трансформирования энергии. Теперь давайте узнаем, что произойдет, если две массы жестко соединить, а связующее звено между ними считать невесомым. В этом случае мы придем к фактическому сбою в обсуждаемом вопросе. Очевидно, что пока происходит турбулентное движение и обе массы имеют абсолютно одну и ту же угловую скорость, связующее звено не будет оказывать какого-либо влияния, вокруг общего центра тяжести масс нет ни малейшего поворотного усилия или тенденции к выравниванию энергии между ними. В тот момент, когда нити оборвутся и шары будут отброшены, они начнут вращаться, но, как указывалось выше, это движение ни прибавит, ни убавит аккумулированной энергии. Однако вращение обусловлено не исключительным свойством углового движения, а тем обстоятельством, что тангенциальные скорости отброшенных масс, или частей тела, различны.

Ил. 7. Представленные здесь две массы m и m₁ уплотнены и рассматриваются в виде точек, закрепленных на очень легких нитях различной длины. Если обе нити обрезать, а массы рассматривать как слившиеся в одну, никакого вращения вокруг общего центра тяжести не произойдет