Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Продолжая откладывать квинты, можно получить 12 звуков хроматической гаммы, которая называется также додекафонической, потому что содержит 12 полутонов западного темперированного звукоряда. Это наиболее используемая система гармонического строя в западной музыке. Она основывается на темперированном полутоне, который равен 1/12 части октавы и в числовом выражении составляет корень 12-й степени из двух. Он, в свою очередь, делится на 100 центов (цент — это сотая доля полутона),

соль |>← ре |>→ ля |>← ми |>← си |>← фа ← до → соль → ре → ля → ми → си → фа #,

ЦЕНТ

В музыке цент — безразмерная логарифмическая единица отношения двух частот или значений границ музыкального интервала. Цент равен 1/100 полутона — это настолько малое значение, что оно находится за пределами человеческого восприятия. С учетом того, что 12 полутонов составляют одну октаву, цент — это такое число, что:

(с¹⁰⁰)¹² = 2 => с¹²⁰⁰ = 2 => с =¹²⁰⁰√2.

где символы бемоль (|>) и диез (#) обозначают, соответственно, звуки на полтона ниже или выше обозначенных. Получив 12 нот с помощью откладывания квинт, достаточно будет расположить звуки в пределах одной октавы путем перенесения на октаву.

ЗВУКОВАЯ МАТЕМАТИКА

После изложения необходимых предварительных принципов можно определить положение каждой ноты с помощью умножения квинт и перенесения на октаву, учитывая, что (напоминаем) значение пропорции частот будет 1 для отношения ноты до к самой себе и 2 — для отношения до и до следующей октавы. Прежде всего, определяется нота соль, которая отстоит на квинту от до:

соль = 3/2 от до

или, проще:

соль = 3/2.

Далее определяется ре, которое находится на квинту от соль. Она получается умножением на 3/2 и перенесением на октаву, то есть умножением на 1/2 или делением на 2. Расстояние от до до ре называется тоном. Тон — типичная дистанция между двумя нотами в темперированной системе, соответствующая одной седьмой октавы и, логичным образом, делящаяся на два полутона. Выполнив простейшие умножения, мы получаем интервал от до до ре:

ре = соль · 3/2 · 1/2 ре = 3/2 · 3/2 · 182 ре = 9/8.

22 222 8

После этого так же определяется ля, отстоящее от ре на квинту:

ля = ре · 3/2 ля = 9/8 · 3/2 · 1/2 ля = 27/16.

Ми находится через квинту от ля, но необходимо перенесение на октаву:

ми = ля · 3/2 · 1/2 ми = 27/16 · 3/2 · 1/2 ми = 81/64.

Ряд завершается си, отстоящим на квинту от ми, и фа, на квинту вниз от до, перенесенного на октаву вверх (то есть умноженного на 2). Так образуется то, что в наши дни известно как квинтовый круг, представленный на рисунке.

Таким образом, если принять для до значение 1 получается следующая таблица. 

Нота	До	Ре	Ми	Фа	Соль	Ля	Си	До
Соотношение частот	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2

Этот процесс можно продолжать далее для определения нот, обозначенных на фортепьяно черными клавишами, или бемолей, продвигаясь вниз по квинтам, начиная с фа.

Нота	Ре|>	Ми|>	Соль|>	Ля|>	Си|>
Соотношение частот	256/243	32/27	1024/729	128/81	16/9

Поднявшись на квинту от си, мы получаем фа#, которое должно бы быть тем же звуком, что и соль|> после соответственного перенесения на октаву. Однако это разные звуки: разница между фа# и соль|> называется пифагоровой коммой. Таким же образом, после перенесения на октаву звуки фа# и ре|> находятся друг от друга на расстоянии точной квинты, но образуют интервал, который отличается от квинты на пифагорову комму. Такая квинта чуть меньше и называется «волчьей квинтой».

Структура квинтового круга представляет собой комбинацию двенадцати квинт, которые в результате приходят к ноте, почти идентичной начальной, но через семь октав, как это показано на клавиатуре.

Эта разница в «почти», проявляющаяся на расстоянии семи октав, и называется пифагоровой коммой. Можно вычислить ее значение СР, приняв за отправной пункт частоту ƒ и сравнив цепочки из двенадцати квинт и из семи октав:

CR = ƒ · (3/2)12/(ƒ · 27 ) = 1, 013643265.

Таким образом, разница составляет более 1 % октавы, или почти четверть тона. Эта разница возникает потому, что дробь, которой выражается квинта, несовместима с октавой, что можно легко доказать. Можно выяснить, существуют ли такие значения х и у, которые позволяли бы увязать эти дроби:

(3/2)^x = 2^y => 3^x/2^x = 2^y => 3^x = 2^x+y.

Как видим, необходимо найти число, которое было бы одновременно некоторой степенью 2 и 3. Но так как 2 и 3 — простые, существование такого числа противоречило бы фундаментальной теореме арифметики, согласно которой любое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде произведения простых чисел. Эта теорема, сформулированная еще Евклидом, была доказана математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855). Исходя из нее можно утверждать, что интервалы, сложенные из квинт и из октав, никогда не сойдутся, то есть существование хроматического звукоряда без пифагоровой коммы невозможно.

НАЗВАНИЯ НОТ