Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Понятно, что шестиугольные числа складывались в шестиугольники: 1, 6, 15, 28, 45... (см. рисунок 8). Они формировались из серии 1, 5, 9, 13, 17... следующим путем: 1, 6 (1 +5), 15 (1 + 5 + 9), 28 (1 + 5 + 9 + 13), 45 (1 + 5 + 9 + 13 + 17)... В целом это 2n² - n.

При таком геометрическом представлении становились заметны некоторые свойства целых чисел. К примеру, если провести прямую внутри квадратного числа, как показано на рисунке 9, становится понятно, что сумма двух последовательных треугольных чисел составляет квадратное число. Можно доказать правильность этого утверждения в целом, хотя и невероятно, чтобы сами пифагорейцы могли прийти к подобному доказательству, которое мы представим в современной нотации:

(n(n+1))/2+((n+1)(n+2)/2) = (n+1)²

Чтобы перейти от одного квадратного числа к следующему, пифагорейцы следовали схеме, представленной на рисунке 10. Они объединяли точки справа и снизу ломаной под прямым углом линией, которая называлась гномон, что значит «плотницкий угол». Гномон образовывали точки на границе квадрата, количество которых увеличивалось на два с каждым переходом к следующему квадратному числу. Если к любому квадратному числу прибавить его гномон плюс два, мы получим следующее квадратное число. Таким образом, пифагорейцы узнали, что n² + (2n + 1) = (n + 1)². Кроме того, если, начиная с 1, прибавлять гномон 3, затем гномон 5 и так далее, то получится, что 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = n².

КЛАССЫ ЧИСЕЛ

Пифагорейский мир чисел был очень богат. Пифагор и его последователи различали разные типы чисел, которые они скрупулезно классифицировали и приписывали им нравственные и физические характеристики. К примеру, нечетные числа были мужскими, а четные — женскими. Некоторые числа были дружественными друг другу и сочетаемыми, иные же — зловредными и неспособными к отношениям с другими. Числа могли приносить человеку несчастья. Результатом этой классификации стала запутанная интеллектуальная конструкция, которую можно понять, только встав на позицию пифагорейской мистики. В Книге VII своих «Начал» Евклид попытался объяснить весь этот пифагорейский мир и представить его с максимально возможной ясностью. Категории и определения, приводимые ниже, основаны на данных этого великого геометра.

Первым большим семейством чисел были четные и нечетные, определение которых, данное пифагорейцами, бесспорно: четное число может быть поделено на две равные или неравные части (исключая диаду, которая делится единственным способом), и эти части будут, в свою очередь, представлять собой четные или нечетные числа. Нечетное число может быть разделено лишь на две неравные части — одна из них будет четным числом, вторая — нечетным. Эти типы чисел делятся, в свою очередь, на четыре класса:

— четно-четные: их половина представляет собой четное число;

— нечетно-четные: их половина нечетная;

— четно-нечетные: такие, которые, будучи разделены на нечетное число, дают четное число;

— нечетно-нечетные: имеют только нечетные делители.

Далее числа делились на несоставные и вторичные — так пифагорейцы называли простые и составные числа. В конечном счете речь идет о числах, служащих делителями или множителями других чисел. Для большей ясности ниже приводятся современные определения, потому что их оригинальное пифагорейское определение слишком запутано:

— простое (несоставное) число — это такое, которое делится только на единицу и на себя само;

— составное (вторичное) число — это то, которое не является простым;

— соотношения между простыми числами таковы, что у них есть только один общий делитель — единица;

— соотношения между составными числами подразумевают, что у них есть общие делители, отличные от единицы.

Дальше следовали линейные, плоские, объемные, квадратные и кубические числа. Линейные не имеют делителей; плоские — это произведение двух чисел, которые составляют их стороны; объемные — произведение трех чисел, являющихся их сторонами; квадратные представляют собой произведение одного числа на само себя; кубические — двойное произведение числа на самого себя. К этим типам можно прибавить числа продолговатые, которые отличаются от плоских на единицу. Совершенными числами называли те, которые являются суммой своих делителей, включая 1, но исключая из делителей само число: например, 6 имеет делители 1, 2 и 3. Греки знали только четыре совершенных числа. Кроме 6 это еще 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248) и 8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064). В наши дни мы знаем 43 таких числа, все они четные. Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, а также конечно ли их количество.

Кроме совершенных, различали еще избыточные и недостаточные числа: те, которые превосходят сумму своих делителей, являются избыточными, а те, которые меньше такой суммы — недостаточными.

Два числа называются дружественными, когда каждое из них равно сумме делителей другого. Из таких чисел пифагорейцы знали только 220 и 284.

— 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (сумма делителей 284).