Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Доходило и до утверждений, что именно он сформулировал и доказал саму теорему Пифагора. Как бы то ни было, Фалес дал свое имя двум важнейшим теоремам:

— первая теорема Фалеса: если провести в треугольнике прямую, параллельную любой из его сторон, получившийся треугольник будет подобен заданному (см. рисунок 1);

— вторая теорема Фалеса: если взять точку В, лежащую на окружности с диаметром АС и не совпадающую с А и С_у треугольник АВС будет прямоугольным (см. рисунок 2).

РИС. 1

РИС. 2

Однако Фалесу приписывают достижение куда более значительное, чем перечисленные теоремы: считается, что именно он превратил математику в абстрактную науку. В точности подтвердить это мнение невозможно, так как наука в ее современном виде возникла только в XVI веке, в ходе научной революции, однако нет сомнений, что трем великим милетцам — Фалесу, Анаксимандру и Анаксимену — математика обязана первыми своими шагами.

Молчание документальных источников свидетельствует об интеллектуальном бесплодии Ионии со времени смерти философа Анаксимена ок. 524 года до н.э. и до взятия Милета персами в 494 году до н.э. Милетская школа, однако, не исчезла. Великие милетские идеи и открытия оказали огромное влияние на последующих мыслителей, даже если они шли иными путями. Самая близкая в хронологическом смысле к милетской школе фигура — это Пифагор, и действительно, история науки считает, что именно пифагорейцы переняли наследие милетцев. Как было сказано ранее, мы не знаем, что именно мы можем отнести к достижениям Пифагора, а что — к результатам его учеников, так что когда речь заходит о математической деятельности пифагорейцев, на самом деле имеется в виду вклад всей группы вплоть до 400 года до н.э. Из числа пифагорейцев более всего выделяются Филолай (ок. 470-385 до н. э.) и Архит (ок. 435-347 до н. э.).

СВЯЩЕННОЕ ЧИСЛО

Математические и геометрические концепции всех доэллинистических цивилизаций были связаны с материей. К примеру, для египтян прямая представлялась натянутой веревкой или бороздой в земле. Первый большой вклад греков в математику — признание того, что математические объекты, числа или геометрические фигуры — это абстракции, идеи, производимые разумом, не связанные с физическими объектами. Тем не менее можно утверждать, что они не всегда придерживались этого взгляда.

Глава V книги I «Метафизики» Аристотеля посвящена в значительной части пифагорейцам и описывает их учение о числах. В сущности, именно на текст Стагирита опираются специалисты при составлении мнения о пифагорейской философии. Указанная глава содержит ясное и точное ее описание, ставшее классическим:

«...так как, далее, они видели, что свойства и соотношения, присущие музыкальной гармонии, выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам и что числа — первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число. И все, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями и частями неба и со всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в согласие друг с другом...»[¹ Перевод А. В. Кубицкого.]

РИС.3

РИС. 4

То есть когда первые пифагорейцы говорили, что все предметы состоят из чисел или что числа — сущность Вселенной, они буквально это и имели в виду. Несмотря на все различия, можно сказать, что пифагорейцы воспринимали числа так, как современная наука воспринимает атомы. Что конкретно они подразумевали, когда говорили «число»? Сами пифагорейцы использовали три определения: число — это «ограниченная множественность», это «комбинация или скопление единиц», это «перетекающее количество». Это «скопление единиц» представлялось с помощью камешков, с помощью которых обозначались формы. Некоторые авторы указывают, что пифагорейцы VI и V веков не делали различия между числами и геометрическими точками, которые они считали маленькими шарами. В действительности представление числа как линии, состоящей из точек, последовательности значков или камней, расположенных так, чтобы образовывать правильные формы, — это особенность куда более древняя и примитивная, пришедшая из глубины веков, придающая арифметике геометрическую форму, и с ней Греция была хорошо знакома. Не напрасно общее для многих европейских языков слово «калькуляция» происходит от латинского calculus — камешек, с помощью которого производятся вычисления, и мы и сегодня говорим о «квадратах» и «кубах» чисел, а эти термины берут начало в пифагорейском геометрическом представлении числа.

Одна точка была началом всех вещей, у нее не было измерений; две точки задавали прямую и составляли первое измерение; три точки, соединенные линиями, представляли собой треугольник и задавали плоскость с двумя измерениями, а четыре точки, не лежащие на одной плоскости, формировали тетраэдр — трехмерную фигуру (см. рисунок 3).