Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии

^{Рис. 13.4. Пример фрактальной кривой — кривая Коха. Для получения такой кривой на средней трети каждой из сторон равностороннего треугольника следует построить новый равносторонний треугольник; процесс может быть продолжен до бесконечности}

Помимо прочего, феномен этот демонстрирует одно любопытное следствие: невозможно со всей определенностью сказать, при каком увеличении мы рассматриваем семейство таких кривых (рис. 13.5): они выглядят одинаково в самых различных масштабах. Наконец, мы можем представить себе хаотические траектории как клубок шерсти, сквозь который снова и снова продевается нить. Шерсть в таком клубке заполняет пространство не полностью, а лишь частично; в этом случае говорят о фрактальной, т.е. дробной размерности кривой.

^{Рис. 13.5. Самоподобие на примере хаотического аттрактора: при увеличении какой-либо подобласти заметного изменения картины не происходит, вследствие чего невозможно определить, с каким увеличением представлен аттрактор}

Надеясь, что читателя не слишком сильно отпугивает терминология, попытаюсь ввести еще одно важное понятие — аттрактор. На примере затухающего движения маятника мы видели, как кривая, описывающая его траекторию, приближается к нулевой точке. Точка эта в некотором смысле притягивает к себе кривую или, иными словами, становится аттрактором. В случае хаотического движения состояние покоя не наступает никогда, однако и здесь мы можем говорить о существовании аттрактора. Допустим, некая траектория начинается где-то вблизи от так называемого аттрактора; войдя в данную пространственную область — в область притяжения — кривая уже никогда больше не покинет ее. Здесь кривая и будет кружить вечно; однако — как уже было упомянуто — так никогда и не сумев заполнить собою всего доступного ей пространства.

Поскольку характеристики подобных кривых не особенно наглядны при рассмотрении в трех или более измерениях, предпринимались попытки описать такие траектории, использовав пространства меньшей размерности. Очень важный вклад в эти исследования внес Пуанкаре. На рис. 13.6 представлено отображение, названное его именем.

^{Рис. 13.6. Построение отображения Пуанкаре. В предлагаемом примере траектории движутся в трехмерном пространстве и пробивают при этом вложенную плоскость сечения. Координаты точек пробива образуют последовательность х1, x2, …}

С помощью отображения Пуанкаре стало возможно представить непрерывную кривую в виде последовательности отдельных, т.е. дискретных, точек х₁, x₂, ... Математики и физики-теоретики, кстати, склонны при случае к разного рода шуткам и играм: в конце концов такие шутки часто оказываются весьма полезны и в высшей степени продуктивны и поучительны, так как способствуют углублению взглядов на имеющие место закономерности. Одной из подобных забав казалось поначалу выдвижение в качестве постулата предположения о наличии зависимости между последовательными точками х_п. Например, координата точки на пятом витке кривой ровно в α раз больше, чем координата точки на четвертом витке. Правда, это еще не дает нам возможности сделать ни одного хоть сколько-нибудь интересного заключения (рис. 13.7).

^{Рис. 13.7. Схематическое описание зависимости между координатой хп точки, достигнутой кривой на n-м витке, и координатой следующей за ней точкой xn+i, n = — 1, 2, 3, . ... Если эта зависимость линейна, как в данном случае, то не происходит ничего примечательного. При α < 1 точки сходятся к некоторой нулевой точке, при α > 1 — расходятся в бесконечность, в чем легко убедиться посредством итераций предлагаемого отображения}

Если α < 1, то точки в конечном счете сходятся к нулевой точке; в остальных случаях, т.е. при α > 1, точки расходятся в бесконечность. При α = 1 все точки совпадают. Однако рассматривая следующие по степени сложности кривые — например параболическую зависимость х_п+1 от х_п — мы вдруг сталкиваемся с массой удивительнейших явлений.