Тени разума. В поисках науки о сознании

Достаточно ли этих соображений для того, чтобы окончательно удостовериться в наличии противоречия? У читателя, возможно, осталось некое тревожное ощущение — кто знает, вдруг сквозь тщательно расставленные сети, невзирая на все наши старания, проскользнули какие-нибудь ошибочные ☆_M- или ☆-утверждения? В конце концов, приведенные выше рассуждения будут иметь смысл лишь в том случае, если нам удастся исключить абсолютно все ошибочные ☆_M-утверждения (или ☆-утверждения) в отношении Π₁-высказываний. Окончательно и бесповоротно удостовериться в истинности утверждения G(Q'_M(M)) нам (и роботам) поможет обоснованность формальной системы Q'_M(M) (обусловленная гипотезой M). Эта самая обоснованность подразумевает, что система Q'_M(M) ни в коем случае не может содержать таких ☆_M-утверждений, которые являются — или всего лишь предполагаются — ошибочными. Невзирая на все предпринятые меры предосторожности, полной уверенности у нас (да и у роботов, полагаю) все-таки нет — хотя бы по той простой причине, что количество возможных утверждений подобного рода бесконечно.

3.20. Возможность ограничиться конечным числом ☆ M -утверждений

Есть, впрочем, возможность именно эту конкретную проблему разрешить и сузить область рассмотрения до конечного множества различных ☆_M-утверждений. Само доказательство несколько громоздко, однако основная идея заключается в том, что следует рассматривать только те Π₁-высказывания, спецификации которых являются «краткими» в некотором вполне определенном смысле. Конкретная степень необходимой «краткости» зависит от того, насколько сложное описание системы механизмов M нам необходимо. Чем сложнее описание M, тем «длиннее» допускаемые к рассмотрению Π₁-высказывания. «Максимальная длина» задается неким числом c, которое можно определить из степени сложности правил, определяющих формальную систему Q'_M(M). Смысл в том, что при переходе к гёделевскому предположению для этой формальной системы — которую нам, вообще говоря, придется слегка модифицировать — мы получим утверждение, сложность которого будет лишь немногим выше, нежели сложность такой модифицированной системы. Таким образом, проявив должную осторожность при выборе числа c, мы можем добиться того, что и гёделевское предположение будет также «кратким». Это позволит нам получить требуемое противоречие, не выходя за пределы конечного множества «кратких» Π₁-высказываний.

Подробнее о том, как это осуществить на практике, мы поговорим в оставшейся части настоящего раздела. Тем из читателей, кого такие подробности не занимают (уверен, таких наберется немало), я рекомендую просто-напросто пропустить весь этот материал.

Нам понадобится несколько модифицировать формальную систему Q'_M(M), приведя ее к виду Q'_M(M, c) — для краткости я буду обозначать ее просто как Q(c) (отброшенные обозначения в данной ситуации несущественны и лишь добавляют путаницы и громоздкости). Формальная система Q(c) определяется следующим образом: при построении этой системы допускается принимать в качестве «безошибочных» только те ☆_M-утверждения, степень сложности которых (задаваемая описанным выше числом ρ) меньше c, где c есть некоторое должным образом выбранное число, подробнее о котором я расскажу чуть ниже. Для «безошибочных» ☆_M-утверждений, удовлетворяющих неравенству ρ < c, я буду использовать обозначение «√краткие ☆_M-утверждения». Как и прежде, множество действительных теорем формальной системы Q(c) будет включать в себя не только √краткие ☆_M-утверждения, но также и утверждения, получаемые из √кратких ☆_M-утверждений посредством стандартных логических операций (позаимствованных, скажем, из исчисления предикатов). Хотя количество теорем системы Q(c) бесконечно, все они выводятся с помощью обыкновенных логических операций из конечного множества √кратких ☆_M-утверждений. Далее, поскольку мы ограничиваем рассмотрение конечным множеством, мы вполне можем допустить, что функции T, L и N постоянны (и принимают, скажем, наибольшие значения на конечном интервале ρ). Таким образом, формальная система Q(c) задается лишь четырьмя постоянными c, T, L, N и общей системой механизмов M, определяющих поведение робота.

Отметим существенный для наших рассуждений момент: гёделевская процедура строго фиксирована и не нуждается в увеличении сложности выше некоторого определенного предела. Гёделевским предположением G(H) для формальной системы H является Π₁-высказывание, степень сложности которого должна лишь на сравнительно малую величину превышать степень сложности самой системы H, причем эту величину можно определить точно.