Тени разума. В поисках науки о сознании

Конкретности ради я позволю себе некоторое нарушение системы обозначений и буду вкладывать в запись «G(H)» некий особый смысл, который может и не совпасть в точности с определением, данным в §2.8. В формальной системе H нас интересует лишь ее способность доказывать Π₁-высказывания. В силу этой своей способности система H дает нам алгебраическую процедуру A, с помощью которой мы можем в точности установить (на основании завершения выполнения A) справедливость тех Π₁-высказываний, формулировка которых допускается правилами системы H. А под Π₁-высказыванием понимается утверждение вида «действие машины Тьюринга T_p(q) не завершается» — здесь и далее мы будем пользоваться специальным способом маркировки машин Тьюринга, описанным в Приложении А (или в НРК, глава 2). Мы полагаем, что процедура A выполняется над парой чисел (p, q), как в §2.5. Таким образом, собственно вычисление А(p, q) завершается в том и только в том случае, если в рамках формальной системы H возможно установить справедливость того самого Π₁-высказывания, которое утверждает, что «действие T_p(q) не завершается». С помощью описанной в §2.5 процедуры мы получили некое конкретное вычисление (обозначенное там как «C_k(k)»), а вместе с ним, при условии обоснованности системы H, и истинное Π₁-высказывание, которое системе H оказывается «не по зубам». Именно это Π₁-высказывание я буду теперь обозначать через G(H). Оно существенно эквивалентно (при условии достаточной обширности H) действительному утверждению «система H непротиворечива», хотя в некоторых деталях эти два утверждения могут и не совпадать (см. §2.8).

Пусть α есть степень сложности процедуры A (по определению, данному в §2.6, в конце комментария к возражению Q8) — иными словами, количество знаков в двоичном представлении числа α, где A = T_α. Тогда, согласно построению, представленному в явном виде в Приложении А, находим, что степень сложности η утверждения G(H) удовлетворяет неравенству η < α + 210 Iog₂(α + 336). Для нужд настоящего рассуждения мы можем определить степень сложности формальной системы H как равную степени сложности процедуры A, т.е. числу α. Приняв такое определение, мы видим, что «излишек» сложности, связанный с переходом от H к G(H), оказывается еще меньше, чем и без того относительно крохотная величина 210 Iog₂(α + 336).

Далее нам предстоит показать, что если H = Q(c) при достаточно большом c, то η < c. Отсюда, соответственно, последует, что и Π₁-высказывание G(Q(c)) должно оказаться в пределах досягаемости системы Q (с) при условии, что роботы принимают G(Q(c)) с ☆-убежденностью. Доказав, что c > γ + 210 log₂(γ + 336), мы докажем и то, что γ < c; буквой γ мы обозначили значение α при H = Q(c). Единственная возможная сложность здесь обусловлена тем обстоятельством, что сама величина γ зависит от c, хотя и не обязательно очень сильно. Эта зависимость γ от c имеет две различных причины. Во-первых, число c являет собой явный предел степени сложности тех Π₁-высказываний, которые в определении формальной системы Q(c) называются «безошибочными ☆_M-утверждениями»; вторая же причина происходит из того факта, что система Q(c) явным образом обусловлена выбором чисел T, L и N, и можно предположить, что для принятия в качестве «безошибочного» ☆_M-утверждения большей сложности необходимы какие-то более жесткие критерии.

Относительно первой причины зависимости γ от c отметим, что описание действительной величины числа c необходимо задавать в явном виде только однажды (после чего внутри системы достаточно обозначения c). Если при задании величины с используется чисто двоичное представление, то (при больших c) такое описание дает всего-навсего логарифмическую зависимость γ от c (поскольку количество знаков в двоичном представлении натурального n равно приблизительно log₂n). Вообще говоря, учитывая, что число с интересует нас лишь в качестве возможного предела, точное значение которого находить вовсе не обязательно, мы можем поступить гораздо более остроумным образом. Например, число 2^2...2 с s показателями можно задать с помощью s символов или около того, и вовсе нетрудно подыскать примеры, в которых величина задаваемого числа возрастает с ростом s еще быстрее. Сгодится любая вычислимая функция от s. Иными словами, для того чтобы задать предел c (при достаточно большом значении c), необходимо всего лишь несколько символов.