Тени разума. В поисках науки о сознании

На квантовом же уровне те состояния частицы, в которых она не имеет четко определенного положения, могут играть, ни много ни мало, фундаментальную роль: если частица обладает определенным количеством движения (т.е. движется по некоторой определенной траектории в определенном направлении, а не в суперпозиции нескольких разных направлений одновременно), то в состоянии этой частицы непременно должна присутствовать суперпозиция всех ее различных положений одновременно. (Это одно из свойств уравнения Шрёдингера, и для должного объяснения этого свойства потребовалось бы слишком далеко углубиться в технические детали, что нам сейчас совсем не нужно; см., например, НРК, с. 243-250, а также [94] и [70]. Оно, кроме того, тесно связано с принципом неопределенности Гейзенберга, устанавливающим предел точности для одновременного измерения положения частицы и ее количества движения.) Более того, в состояниях с определенным количеством движения частицы демонстрируют колебательное (в направлении движения) пространственное поведение, чего при обсуждении состояний фотонов в §5.7 мы не учитывали. Строго говоря, термин «колебательное» здесь не совсем подходит. Как выясняется, упомянутые «колебания» отнюдь не похожи на колебания, скажем, струны — комплексные весовые коэффициенты не «мечутся» взад и вперед сквозь начало координат на комплексной плоскости, но, будучи чистыми фазами (см. рис. 5.18), движутся вокруг начала координат с постоянной скоростью, причем эта самая скорость задает частоту v, пропорциональную энергии E частицы в соответствии со знаменитой формулой Планка E = hv. (Графическое представление состояний количества движения в виде этакого «штопора» можно найти в НРК, рис. 6.11.) Все эти вещи, хоть они и важны для квантовой теории, в наших дальнейших рассуждениях особой роли не играют, поэтому читатель вполне может обойтись и без детального их изучения.

В общем случае комплексные весовые коэффициенты вовсе не обязательно должны иметь именно такой «колебательный» вид, они могут изменяться от точки к точке произвольным образом. Весовые коэффициенты задают комплексную функцию положения, которая называется волновой функцией частицы.

5.12. Гильбертово пространство

Чтобы более внятно (и более точно) рассказать о том, как работает процедура R в стандартных квантовомеханических описаниях, необходимо перейти на несколько (совсем немного) более высокий уровень математической абстракции. Семейство всех возможных состояний квантовой системы образует так называемое гильбертово пространство. Нужды объяснять значение этого термина во всех математических тонкостях у нас в данный момент нет, однако некоторое представление о нем все же получить стоит — это поможет нам прояснить существующую картину квантового мира.

Первая и наиболее важная особенность, на которую следует обратить внимание: гильбертово пространство является комплексным векторным пространством. Это, в сущности, означает, что здесь мы вправе выполнять действия с комплексно-взвешенными комбинациями, посредством которых описываются квантовые состояния. Для обозначения элементов гильбертова пространства я продолжу использовать диракову скобку «кет», т.е. если состояния |ψ〉 и |φ〉 являются элементами гильбертова пространства, то таким же его элементом является и состояние w|ψ〉 + z|φ〉, где w и z — любая пара комплексных чисел. Допускается даже комбинация w = z = 0, она дает элемент 0 гильбертова пространства — единственный элемент, не соответствующий никакому возможному физическому состоянию. Как и в любом другом векторном пространстве здесь действуют самые обыкновенные алгебраические правила:

|ψ〉 + |φ〉 = |φ〉 + |ψ〉,

|ψ〉 + (|φ〉 + |χ〉) = (|ψ〉 + |φ〉) + |χ〉,

w(z|ψ〉) = (wz)|ψ〉,

(w + z)|ψ〉 = w|ψ〉 + z|ψ〉,

z(|ψ〉 + |φ〉) = z|ψ〉 + z|φ〉,

0|ψ〉 = 0,

z0 = 0,

а это более или менее означает, что мы можем использовать алгебраическую систему обозначений привычным нам образом.