Тени разума. В поисках науки о сознании

Пространство всех возможных комплексных отношений мы можем представить с помощью так называемой сферы Римана. Точки, образующие сферу Римана, соответствуют комплексным числам, либо ∞. Сферу Римана можно изобразить в виде единичной сферы, экваториальная плоскость которой совпадает с комплексной плоскостью, а центр располагается в точке начала координат (т.е. в нуле). Собственно экватор сферы есть не что иное, как единичная окружность на комплексной плоскости (см. рис. 5.19). Для представления какого-либо комплексного отношения, скажем, z : w, мы отмечаем на комплексной плоскости точку P, соответствующую комплексному числу p = z/w (допустим пока, что w ≠ 0), а затем проецируем эту точку P в точку P' на сфере, при этом в качестве центра проекции выбираем южный полюс S сферы. Иначе говоря, мы проводим через точки S и P прямую; там, где эта прямая пересекает сферу (кроме самой точки S), отмечаем точку P'. Такое точечное отображение плоскости на сферу называется стереографической проекцией. Сам южный полюс S при таком отображении соответствует комплексному отношению ∞. В самом деле, представим себе, что точка P комплексной плоскости удалена на очень большое расстояние от центра координат; соответствующая ей точка P' на сфере окажется при этом очень близко от полюса S — в пределе, когда модуль комплексного числа p устремляется к бесконечности, точки P' и S совпадают.

Рис. 5.19. Сфера Римана. Точка P на комплексной плоскости, соответствующая числу p = z/w, проецируется из южного полюса S на точку P' на сфере. Направление OP совпадает с направлением оси спина для общего состояния спина 1/2 (см. рис. 5.15).

Сфера Римана играет фундаментальную роль в квантовом описании систем с двумя состояниями. Эта роль не всегда очевидна, однако это не делает ее менее важной, и сфера Римана, пусть и незримо, где-то на сцене все равно присутствует. Она описывает — в абстрактном геометрическом виде — пространство всех физически достижимых состояний, которые можно получить из двух различных квантовых состояний посредством квантовой линейной суперпозиции. В качестве исходных можно взять, например, возможные состояния фотона |B〉 и |C〉. В общем случае их линейная комбинация имеет вид w|B〉 + z|C〉. В §5.7 мы подробно рассматривали только один конкретный случай |B〉 + i|C〉 (результат отражения/пропускания света, падающего на полусеребрёное зеркало), однако нетрудно реализовать и другие комбинации состояний. Для этого нужно всего лишь изменить степень «серебрёности» зеркала и поместить на пути одного из лучей что-нибудь преломляющее. Так можно набрать полную сферу Римана всевозможных альтернативных состояний, соответствующих различным физическим ситуациям вида w|B〉 + z|C〉, т.е. комбинациям двух начальных состояний |B〉 и |C〉.

Впрочем, в таких случаях геометрическая роль сферы Римана как раз и неочевидна. Однако возможны и иные ситуации, в которых целесообразность построения сферы Римана проявляется в полной мере. Самым наглядным примером такого рода является описание спиновых состояний частицы со спином 1/2 — электрона, скажем, или протона. В общем случае спиновое состояние можно записать в виде комбинации

|ψ〉 = w|↑〉 + z|↓〉;

как оказывается (при соответствующем выборе направлений ↑ и ↓ из физически эквивалентных возможных вариантов), это самое |ψ〉 представляет собой состояние правого спина (величины 1/2 ħ), направление оси которого совпадает с направлением от начала координат к точке, соответствующей отношению z/w, на сфере Римана. Таким образом, любое направление в пространстве выступает как возможное направление оси спина для любой частицы со спином 1/2. Хотя большая часть спиновых состояний представляется изначально в виде «таинственных комплексно-взвешенных комбинаций возможных альтернативных состояний» (т.е. состояний |↑〉 и |↓〉), мы видим, что эти состояния ничуть не более (но и не менее) таинственны, чем оригинальные состояния |↑〉 и |↓〉, выбранные нами в качестве начальных. Каждое физически реально в той же мере, что и все остальные.

А что же с состояниями большего спина? Здесь ситуация становится несколько более запутанной — и более таинственной! Приводимое ниже общее описание не пользуется широкой известностью среди современных физиков, хотя оно было предложено еще в 1932 году блестящим итальянским физиком Этторе Майораной (в 1938 году, в возрасте 31 года, Майорана бесследно исчез с борта входившего в Неаполитанский залив парома при обстоятельствах, которые до сих пор не получили удовлетворительного объяснения).