Тени разума. В поисках науки о сознании

Однако подобная интерпретация того, что доказал Гёдель, абсолютно неверна. Согласно Гёделю, само по себе понятие формальной системы аксиом не подходит для передачи даже самых элементарных математических понятий. Когда мы употребляем термин «арифметика» без дальнейших пояснений, мы подразумеваем обычную арифметику, которая работает с обычными натуральными числами 0, 1, 2, 3, 4, … (и, быть может, с их отрицаниями), а вовсе не со «сверхнатуральными» числами, что бы это понятие ни означало. Мы можем, если пожелаем, исследовать свойства формальных систем, и это, конечно же, станет ценным вкладом в процесс математического познания. Однако такое предприятие несколько отличается от исследования обычных свойств обычных натуральных чисел. В некотором отношении данная ситуация весьма напоминает ту, что сложилась в последнее время с геометрией. Изучение неевклидовых геометрий интересно с математической точки зрения, да и сами геометрии имеют ряд важных областей применения (например, в физике, см. НРК, глава 5, особенно рис. 5.1 и 5.2, а также §4.4), но, когда термин «геометрия» используется в обычном языке (в отличие от «жаргона» математиков или физиков-теоретиков), подразумевается, как правило, обычная евклидова геометрия. Однако имеется и разница: то, что логик может назвать «евклидовой геометрией», действительно можно определить (с некоторыми оговорками^{34}) через определенную формальную систему, тогда как обычную «арифметику», как показал Гёдель, определить таким образом нельзя.

Гёдель доказал не то, что математика (в особенности арифметика) — это произвольные поиски, направление которых определяется прихотью Человека; он доказал, что математика — это нечто абсолютное, и в ней мы должны не изобретать, но открывать (см. §1.17). Мы открываем, что такое натуральные числа и без труда отличаем их от любых сверхнатуральных чисел. Гёдель показал, что ни одна система «искусственных» правил не способна сделать это за нас. Такая платоническая точка зрения была существенна для Гёделя, не менее существенной она будет и для нас в последующих рассуждениях (§8.7).

Q17. Допустим, что формальная система F предназначена для представления тех математических истин, что в принципе доступны человеческому разуму. Не можем ли мы обойти проблему невозможности формального включения в систему F гёделевского высказывания G(F), включив вместо него что-либо, имеющее смысл G(F), воспользовавшись при этом новой интерпретацией смысла символов системы F?

Определенные способы представления примененного к F гёделевского доказательства в рамках формальной системы F (достаточно обширной) действительно существуют, коль скоро новый, реинтерпретированный, смысл символов системы F полагается отличным от исходного смысла символов этой системы. Однако если мы пытаемся таким образом интерпретировать систему F как процедуру, с помощью которой разум приходит к тем или иным математическим выводам, то подобный подход является не чем иным, как шулерством. Если мы намерены толковать мыслительную деятельность исключительно в рамках системы F, то ее символы не должны изменять свой смысл «на полпути». Если же мы принимаем, что мыслительная деятельность может содержать что-то помимо операций самой системы F — т.е. изменение смысла символов, — то нам необходимо знать и правила, управляющие подробным изменением. Либо эти правила окажутся неалгоритмическими, и это сыграет в пользу G, либо для них найдется какая-то конкретная алгоритмическая процедура, и тогда нам следовало бы изначально включить эту процедуру в нашу «систему F» — обозначим ее через F^† — с тем, чтобы она представляла собой полную совокупность процедур, обусловливающих наши с вами понимание и проницательность, а значит, необходимости в изменении смысла символов не возникло бы вовсе. В последнем случае вместо гёделевского высказывания G(F) из предыдущего рассуждения нам предстоит разбираться уже с высказыванием G(F^†), так что ничего мы в результате не выигрываем.