Тени разума. В поисках науки о сознании

Q18. Даже в такой простой системе, как арифметика Пеано, можно сформулировать теорему, интерпретация которой имеет следующий смысл:

«система F обоснованна», а следовательно, «высказывание G(F) истинно».

Разве это не все, что нам нужно от теоремы Гёделя? Значит, теперь, полагая обоснованной какую угодно формальную систему F, мы вполне можем поверить и в истинность ее гёделевского высказывания — при условии, разумеется, что мы готовы принять арифметику Пеано, разве не так?

Подобную теорему^{35} действительно можно сформулировать в рамках арифметики Пеано. Точнее (поскольку мы не можем в пределах какой бы то ни было формальной системы должным образом выразить понятие «обоснованности» или «истинности», как это следует из знаменитой теоремы Тарского), мы, в сущности, формулируем более сильный результат:

«система F непротиворечива», а следовательно, «высказывание G(F) истинно»,

либо иначе:

«система F ω-непротиворечива», а следовательно, «высказывание Ω(F) истинно».

Из этих высказываний следует вывод, необходимый для Q18, поскольку если система F обоснованна, то она, разумеется, непротиворечива или омега-непротиворечива, в зависимости от обстоятельств. Понимая смысл присутствующего здесь символизма, мы и в самом деле можем поверить в истинность высказывания G(F) на основании одной лишь веры в обоснованность системы F. Это, впрочем, мы уже приняли. Если понимать смысл, то действительно возможно перейти от F к G(F). Сложности возникнут лишь в том случае, если нам вздумается исключить необходимость интерпретаций и сделать переход от F к G(F) автоматическим. Будь это возможно, мы смогли бы автоматизировать общую процедуру «гёделизации» и создать алгоритмическое устройство, которое действительно будет содержать в себе все, что нам нужно от теоремы Гёделя. Однако такой возможности у нас нет — захоти мы добавить эту предполагаемую алгоритмическую процедуру в какую угодно формальную систему F, выбранную нами в качестве отправной, в результате просто-напросто получилась бы, по сути, некоторая новая формальная система F^#, а ее гёделевское высказывание G(F^#) оказалось бы уже за ее рамками. Таким образом, согласно теореме Гёделя, какой-то аспект понимания всегда остается «за нами», независимо от того, какая доля его оказалась включена в формализованную или алгоритмическую процедуру. Это «гёделево понимание» требует постоянного соотнесения с действительным смыслом символов какой бы то ни было формальной системы, к которой применяется процедура Гёделя. В этом смысле ошибка Q18 весьма похожа на ту, что мы обнаружили, комментируя возражение Q17. С невозможностью автоматизации процедуры гёделизации тесно связаны также рассуждения по поводу Q6 и Q19.

В возражении Q18 присутствует еще один аспект, который стоит рассмотреть. Представим себе, что у нас есть обоснованная формальная система H, содержащая арифметику Пеано. Теорема, о которой говорилось в Q18, окажется среди следствий системы H, а частным ее примером, применимым к конкретной системе F (т.е., собственно, H), будет теорема системы H. Таким образом, можно сформулировать один из выводов формальной системы H:

«система H обоснованна», а следовательно, «высказывание G(H) истинно»;

или, точнее, скажем так:

«система H непротиворечива», а следовательно, «высказывание G(H) истинно».