Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

Достижимое множество портфелей, содержащих три рискованных актива. Предположим, что портфель содержит три рискованных актива , и . По аналогии с соотношениями (1.15) и (1.16) получаем

где , и – относительные объёмы инвестирования в активы , и соответственно; , и – МО доходностей активов , и соответственно; , и – СКО доходностей активов , и соответственно; , и – коэффициенты корреляции между доходностями активов и , и , и соответственно.

На конкретном примере рассмотрим особенности построения достижимого множества портфелей, которые содержат три актива , и с коррелированными доходностями и параметрами, приведенными в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Параметры активов , и

Активы

Параметры

активов

А₁

А₂

А₃

15

10

5

0,14

0,13

0,12

На рис. 1.4 представлено достижимое множество портфелей для всех возможных сочетаний относительных объёмов инвестирования , и в каждый актив , и . Для наглядности внутренняя область достижимого множества заполнена кривыми, которые построены при фиксированных значениях .

Рис. 1.4. Достижимое множество портфелей , которые содержат три актива , и

Анализ рис.1.4 показывает, что внешняя граница и внутренняя область достижимого множества формируется бесконечным множеством дуг гипербол, сплошь заполняющих фигуру . Закономерности заполнения данной фигуры дугами гипербол, которые показаны пунктирными линиями, наглядно демонстрируется на рис. 1.4.

Внутренняя область достижимого множества содержит точки пересечения дуг гипербол. Это означает, что портфели с одинаковыми значениями МО доходности и СКО доходности могут быть сформированы несколькими вариантами объёмов инвестирования , и .

Внешняя граница достижимого множества по форме напоминает зонт [1] и состоит из пилообразной части и выпуклой части .

Пилообразная часть внешней границы достижимого множества формируется точками (портфелями, содержащими только один актив) , и , а также дугами гипербол с вершинами , и , попарно соединяющими эти точки (портфелями, содержащими только два актива):

дугой , которая формируется при ;

дугой , которая формируется при ;

дугой , которая формируется при .

Характерной особенностью выпуклой части достижимого множества является наличие вершины (, ). Портфель, соответствующий точке , обладает минимальным значением СКО доходности из всего достижимого множества, что достигается при объёмах инвестирования в активы , , .

Следует отметить, что СКО доходности портфеля заметно отличается в меньшую сторону от СКО доходностей исходных активов , и . То есть доходность портфеля является наиболее устойчивой из всего допустимого множества портфелей (в [1] портфель называют наименее рискованным, так как СКО доходности ассоциируется с риском).

Координаты вершины выпуклой части достижимого множества и соответствующие объёмы инвестирования в активы , и можно определить не только численными методами, но методом выделения экстремума функции с использованием частных производных.

Учитывая, что преобразуем выражение для дисперсии доходности портфеля к виду

Для определения минимального значения СКО доходности портфеля, содержащего три актива, решим систему уравнений

В результате получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы , и , при которых достигается минимум СКО доходности портфеля

где

Рассмотренный подход позволяет определить координаты и вершины достижимого множества , которая соответствует портфелю с минимальным значением СКО доходности.

Аналогичный подход может быть использован для расчёта объёмов инвестирования в активы , и , при которых достигается минимум СКО доходности портфеля для заданного значения МО доходности портфеля . Другими словами, представляется возможным вывести соотношения для расчёта границы выпуклой части достижимого множества.

Учитывая, что и , получаем

Такое представление объёмов инвестирования и позволяет преобразовать выражение для дисперсии доходности портфеля как функцию объёма инвестирования

Для определения минимального значения СКО доходности портфеля при заданном значении МО доходности портфеля необходимо решить уравнение

В результате получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы , и

где:

Анализ полученных соотношений показывает, во–первых, объёмы инвестирования , и прямо пропорциональны МО доходности портфеля , следовательно, граница выпуклой части достижимого множества является гиперболой. Во–вторых, условия , и ограничивают данную гиперболу. Координаты точек и , которые ограничивают гиперболу, могут быть определены из условий , , На рис. 1.4 такими точками являются , , и , , , которые соответствуют портфелям с двумя активами. В–третьих, граница выпуклой части достижимого множества формируется:

на участке – дугой гиперболы , т.е. двумя активами и ;

на участке – дугой гиперболы , т.е. тремя активами , и ;

на участке – дугой гиперболы , т.е. двумя активами и .