Теория и практика аргументации

Современное развитие темы противоречия привело к разделению косвенной аргументации на различные степени косвенности и к размежеванию логики на классическую, допускающую свободное использование всех форм аргументации от противоречащего случая, и интуиционистскую (конструктивную), допускающую, вообще говоря, только одну ее форму — доказательство отрицательных суждений через построение, приводящее к противоречию гипотезы об истинности положительной посылки рассуждения.

Выше я упомянул об абсолютном характере логического обоснования. Но, вообще говоря, обоснование посредством логической дедукции относительно по меньшей мере вот в каком смысле: это обоснование одного суждения с помощью другого (или других) в границах замкнутой дедуктивной системы. Абсолютность выражается здесь только в приведении импликативного отношения основания и следствия (посылки и заключения) к форме логического закона. Исключая посылки (гипотезы), мы релятивизируем факт аргументации. Введение закона противоречия в такую теорию, расширяя возможности обоснования “внутри нее” посредством опровержений, все же сохраняет status quo. Поэтому возникает проблема обоснования и оправдания самой теории. На смену проблемы “непротиворечия в выводах” приходит проблема непротиворечивости теории в целом в качестве критерия ее практической значимости, поскольку непротиворечивость абстрактной теории влечет возможность ее модельной выполнимости (теорема Левенгейма — Скулема), то есть создает условия для изучения модели (если такая будет указана) средствами логики этой теории. Одновременно в силу наличия модели непротиворечивость означает также логическую возможность считать такую теорию осмысленной.

Однако непротиворечивость теории, указывая на возможность модели для этой теории, одновременно указывает и на границы применимости ее основных абстракций, поскольку для большинства дедуктивных теорий с достаточно простым понятием выводимости их непротиворечивость влечет их неполноту, то есть указывает на факт существования суждений, формализуемых в языке данной теории, но недоказуемых в ней. Об этом говорит первая теорема Геделя. Почти все теоретически значимые дедуктивные теории (с известной оговоркой за исключением чистой логики) отличаются их неполнотой. В этом заключен интервальный смысл всякой достаточно богатой содержательной теории. Ведь совместная реализация непротиворечивости и полноты была бы свидетельством абсолютной самообоснованности их основных абстракций. На деле же непротиворечивость таких теорий может быть обоснована только средствами, которые не являются собственными средствами этих теорий — не формализуемы (не выразимы) в них. Об этом говорит вторая теорема Геделя.

3. Непротиворечивость и интервальность

Как бы ни было велико его значение, факт непротиворечивости не следует рассматривать как априорное условие научной ценности теории. Научную ценность могут представлять и противоречивые, но нетривиальные теории. Если в числе теорем (аксиом) теории отсутствует ex faiso sequitur quodlibet, то противоречивость не обесценивает ни понятие теоремы теории, ни понятие доказательства в ней. В этом случае наличие противоречия становится всего лишь посторонней посылкой{125}, которая не влияет на законные выводы этой теории. Поэтому тот, для кого программа изучения доказательств противоречивых теорий может представлять научный или философский интерес, не исключает из общей теории дедуктивных систем и изучение противоречивых систем, мотивируя это тем, что такое изучение может содействовать изучению общих дедуктивных свойств непротиворечивости теорий или нахождению новых методов доказательства непротиворечивости.

Наиболее глубокая трактовка связывает вопрос о непротиворечивости с вопросом о допустимых способах рассуждений, а не только с принципиальной недопустимостью противоречий. Способов рассуждений, допустимых, так сказать, абсолютно, не существует. Обычно их допустимость определяется характером “логики вещей”, о которых рассуждают (или хотят рассуждать). Чтобы судить о наличии противоречия, необходимо располагать средствами получения противоречий и более того — знанием о достижимости противоречия этими средствами. К примеру, непредикативные определения сам Рассел рассматривал как средства получения антиномий, а парадокс Рассела — как свидетельство достижимости антиномий этими средствами. Вопрос о допустимости непредикативных определений долгое время был предметом острых дискуссий между Расселом, Цермело и Пеано, с одной стороны, и Пуанкаре — с другой.