Теория и практика аргументации

Согласно ультраинтуиционизму, осмысленность формулы (A & A), выражающей противоречие, предполагает (неявно) отождествление A в обоих вхождениях. При этом не исключаются ситуации, когда суждение A должно быть отождествлено в обоих вхождениях в эту формулу по принципам тождества, принятым в этой теории, но оно не может быть отождествлено согласно всем требованиям рассматриваемой теории. Аналогичный пример дает применение ex falso, то есть формулы  A  (A  B), которое предполагает, что отождествление A в обоих вхождениях выполнено. При этом возможны ситуации, когда формулы A и  A обе доказаны (получены), но это не влечет доказуемости произвольной формулы, поскольку правила всей теории не допускают отождествления A в обоих вхождениях в формулу ex falso, хотя и допускают возможность такого отождествления в других случаях.

Следовательно, с точки зрения ультраинтуиционистских представлений, тот факт, что в теории имеются обе формулы, как A, так и  A, еще не означает, что в ней может быть доказана (или уже доказана) формула (A& A){128}. В этом случае по вполне понятным основаниям теория не считается противоречивой. И такие ситуации, когда противоречивая формула недостижима, действительно предусматриваются в некоторых вариантах ультраинтуиционистских теорий. Ситуация подобного рода характеризуется в ультраинтуиционизме как “кажущееся противоречие”. Считать кажущиеся противоречия нарушением непротиворечивости или нет — это, с точки зрения автора названной концепции, вопрос соглашения. Но, по-видимому, было бы опрометчиво его решать непременно отрицательно, отвергая теории с кажущимися противоречиями на том основании, на каком отвергаются обычно противоречивые теории в традиционной логике и математике{129}.

В контексте сказанного я обращаю особое внимание на роль операции отождествления в ультраинтуиционистской концепции. Многими из нас марковская абстракция отождествления воспринимается как едва ли не эмпирическая операция, применимая к конструктивным объектам различных видов{130}. Между тем это отнюдь не самостоятельная абстракция; это способ образования абстрактных объектов в рамках абстракции потенциальной осуществимости, то есть далеко идущая операция, предполагающая в определенном смысле трансцендентную реальность. Отождествить два объекта в наличной реальности (в наличном опыте) сравнительно легко. Но кто поручится за возможность отождествления в трансцендентной реальности? Этот вопрос в равной мере относится как к неопределенно длинным (фактически неосуществимым) доказательствам той или иной математической теории, так и к тождеству объектов в моделях этих теорий.

Ультраинтуиционистская критика указывает на это обстоятельство, замечая при этом, что если тождество двух объектов (например, двух слов в алфавите), данных воочию, является эмпирическим фактом и не вызывает сомнений, то тождество объектов (формул), участвующих в бесконечном процессе (например, в случае применения в доказательстве бесконечной индукции), является по существу гипотезой и вовсе не очевидно.

Таким образом, полный анализ доказательства требует явного указания на возможность отождествления (или различения) объектов, участвующих в доказательстве. При этом не может быть вопроса об отождествлении объектов пока они не представлены в наглядных шагах доказательства. И это столь же очевидно, как очевидна невозможность постройки дома, если отсутствует необходимый строительный материал.

И еще одно, не менее важное обстоятельство стоит отметить. Конструктивная абстракция отождествления служит способом построения абстрактных понятий. Это ее содержательный гносеологический аспект. Но у этой абстракции есть и формальный аспект, который, собственно, и оправдывает ее применение. Этот формальный аспект выражается в трех свойствах (аксиомах) равенства — рефлексивности, транзитивности и симметрии. Этот формальный аспект (известный со времен Евклида) роднит абстракцию отождествления с классическим (расселовским) принципом абстракции.

Замечательно, что ультраинтуиционистская критика не выставляет этих формальных свойств тождества в качестве обязательных свойств при отождествлениях. Ни транзитивность, ни симметрия, вообще говоря, не предполагаются, хотя потребность в соответствующем анализе не исключается. В частности, когда транзитивность тождества нарушается при попытках отождествления А в его вхождениях в формулу A & A, можно обоснованно говорить, что смысл А различный в обоих вхождениях.