Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Для того чтобы количественно оценить степень близости определенного многообразия к евклидовому пространству, необходимо знать его метрику. В плоском пространстве с взаимно перпендикулярными координатными осями для расчета расстояний можно использовать теорему Пифагора. В искривленных пространствах дело обстоит несколько сложнее, поскольку оси координат в этом случае могут уже не быть взаимно перпендикулярными, что приводит к необходимости использования модифицированной версии теоремы Пифагора. Для расчета расстояний в искривленных пространствах необходимо знать метрические коэффициенты – набор чисел, изменяющийся от точки к точке и зависящий от ориентации координатных осей. Выбор той или иной ориентации осей ведет к возникновению разных наборов метрических коэффициентов. При этом значение имеют не столько величины этих коэффициентов, которые во многом произвольны, сколько характер их изменения при переходе от одной точки многообразия к другой. Это дает возможность узнать положение различных точек по отношению друг к другу и таким образом свести воедино все, что касается геометрии данного многообразия. Как уже было сказано в предыдущих главах, для описания четырехмерного пространства необходимы десять метрических коэффициентов. На самом деле коэффициентов всего шестнадцать, поскольку метрический тензор в данном случае представляет собой матрицу 4Ч4. Однако метрический тензор всегда симметричен относительно диагонали, проходящей из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. Таким образом, четыре числа лежат непосредственно на диагонали матрицы и еще два одинаковых набора из шести чисел каждый лежат по разные стороны от нее. За счет наличия симметрии вместо шестнадцати чисел можно рассматривать только десять: четыре на диагонали и шесть – по одну сторону от нее.

Это, впрочем, еще не объясняет механизм работы метрики. Рассмотрим весьма простой пример, имеющий место для одного комплексного или двух вещественных измерений, – метрику Пуанкаре единичного круга, центр которого находится в точке плоскости с координатами (0, 0). Этот круг представляет собой набор точек ( x, y), удовлетворяющих неравенству x ² + y ² < 1. Формально такой круг называют «открытым», поскольку он не включает в себя свою границу – окружность, определяемую выражением x ² + y ² = 1. Поскольку рассматриваемый случай относится к двум измерениям, тензор метрики Пуанкаре представляет собой матрицу 2Ч2. В каждой из ячеек этой матрицы стоит коэффициент вида G _ij, где i– номер строки, j– номер столбца. Таким образом, матрица будет иметь вид:

G₁₁G₁₂

G₂₁G₂₂

За счет симметрии, о которой шла речь выше, G ₁₂будет равно G ₂₁. Для метрики Пуанкаре эти два «недиагональных» элемента по определению равны нулю. Равенство двух других элементов – G ₁₁и G ₂₂не обязательно, но в случае метрики Пуанкаре оно имеет место: оба эти элемента по определению равны 4/(1-x ²- y ² ) ² .Любой паре координат xи y, выбранной внутри единичного круга, метрический тензор ставит в соответствие определенный набор коэффициентов. Так, например, для x = 1/2и y = 1/2элементы G ₁₁и G ₂₂будут оба равны 16, оставшиеся же два коэффициента равны нулю для любой точки единичного круга.

Что же делать дальше с полученными числами? И как эти коэффициенты соотносятся с расстоянием? Нарисуем внутри единичного круга небольшую кривую, однако рассмотрим ее не как неподвижный объект, а как траекторию частицы, движущейся из точки А в точку В. Чему же равна длина этой траектории для данной метрики Пуанкаре?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим кривую sи разделим ее на крошечные линейные участки – настолько крошечные, насколько это только можно представить, – и сложим их длины между собой. Длину каждого из линейных участков можно найти при помощи теоремы Пифагора. Для начала определим величины x,  yи sпараметрически, то есть представим их как функции времени:  x = X(t),  y = Y(t)и s = S(t). Производные этих функций – X'(t)и Y'(t) – можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника; их подстановка в теорему Пифагора ([X'(t)] ² +[Y'(t)] ² )дает значение производной S'(t).Интегрирование от А до В позволяет определить длину всей кривой. В свою очередь каждый линейный сегмент представляет собой касательную к кривой, называемую в данном случае касательным вектором. Однако поскольку кривая находится на круге Пуанкаре, то перед интегрированием полученный результат нужно умножить на значение метрики ([X'(t)] ² +[Y'(t)] ² ) Ч (4/(1-x ²- y ² ) ² ), чтобы ввести поправку на кривизну.