"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Двомірне рівняння (2) не розв’язується аналітично (член кулонівської взаємодії з не дозволяє розділити змінні), тому в роботі розвинуто нову скінченно-різницеву схему його розв’язання. При різницевому розв’язанні нескінчена область замінювалася прямокутною областю: 0 <  _ρ, 0 _zдостатньо великих розмірів, в якій будується рівномірна сітка з кроками h _ρ, h _zтаким чином, що межі області знаходились на віддалі ½ кроку до найближчої лінії вузлів. На зовнішній межі виконувалась умова: Похідні по ρапроксимувалися (2 m+1) -точковими симетричними різницевими схемами, які отримані шляхом диференціювання інтерполяційної формули Лагранжа. Для другої похідної по zвикористана трьохточкова симетрична різницева схема. Власні значення гамільтоніана розраховані на підставі методу зворотних ітерацій. Відповідна система неоднорідних рівнянь розв’язується методом Томаса. З метою збільшення точності розрахунку власних значень використано метод Річардсона экстраполяції розв’язок по кроку сітки h. Власні значення для одного й того ж стану апроксимувалися многочленом від h.

Для розрахунку ширин резонансів у магнітному полі узагальнено метод операторної теорії збурень ОТВ (Glushkov-Ivanov, 1992 [5]). Ширина Г резонанса:

Г/2(3)

з повним гамільтоніаном (2),  _Eb-функції дискретного спектру,  _Ec -функції станів континуума. Далі розглянуто застосування нового підходу до розрахунку енергетичних та статистичних властивостей спектру резонансів в атомі водню у магнітному полі й з’ясування особливостей та механізму стохастизації у системі. Крім мети апробації нового методу взагалі, ми виконали розрахунки з метою відтворити та докладно пояснити результати експериментів Клеппнера та співр. (Масачусетський технологічний інститут), в яких спостерігався ефект хаосу в атомі водню у магнітному полі з індукцією 6Тл (див. [2–4]). Ми проводили розрахунок енергій та ширин резонансів в атомі водню для декількох інтервалів значень індукції магнітного поля, у тому числі, значення, яке використано в експерименті Клеппнера та співр. Аналізувалися повністю збіжні серії резонансів в інтервалах енергії: [( n–0.5) , ( n–0.3 ] для n=1, 2, 3, 4. Рідбергівські серії резонансів збігаються до границі іонізації Ландау: E _ion(n _)=(n _+1/2) . Густина станів для кожного каналу Ландау, згідно з нашими аналізом, складала ~35 резонансів на см ^-1, що погоджується з експериментальними значеннями ~30 резонансов на см ^-1, а також даними, які отримані на підставі оцінок в межах моделі комплексних коордінат (МКК; Delande-Dupret, 1995) та адіабатичному наближенні ОТВ (АОТВ: Ambrosov-Glushkov, 1998): ~40 резонансов на см ^-1. Середня ширина резонансу, згідно з нашим розрахунком, складає 0.005 см ^-1, що також погоджується з експериментальними даними Клеппнера та співр.: 0.004–0.006 см ^-1й оцінками в моделях МКК й АОТВ: 0.006–0.007 см ^-1. З фізичної точки зору, наявність у спектрі атому водню у магнітному полі багаточислених резонансів з малими та аномально малими ширинами пояснюється в межах квантової теорії хаоса. Їх виникнення обумовлено не схованою симетрією або феноменом локалізації, а має місце внаслідок випадкових інтерференційних явищ й флуктуацій, притаманних взагалі хаотичним системам.

В роботі також вперше розроблено новий квантовий підхід до розрахунку структури й статистичних властивостей енергетичних спектрів некулонових (багатоелектронних) атомних систем у статичному магнітному полі у регулярній й хаотичній областях, який базується на скінченно-різницевому розв’язанні 2D рівняння Шредінгера з некулоновим потенціалом для багатоелектронної атомної системи і ОТВ (2D-ОТВ). Крім того, додатково вперше чисельно реалізовані адіабатичні моделі розрахунку структури рівнів Н-подібних й некулонових атомних систем у полі, які є ефективними лише у граничному випадку (в інших випадках точність не є достатньою, тому більшість розрахунків проведено методом 2D-ОТВ). У випадку багатоелектронної системи рівняння Шредінгера для одноелектронних функцій записуються (у хартрі-фоківському наближенні) у вигляді:

(4)