Том 1. Механика, излучение и теплота

Напоследок необходимо подчеркнуть, что гармоники возникают не только в сложных непрерывных системах, но и в очень простых механических системах. Хорошим примером этого служит рассмотренная в предыдущей главе система двух связанных маятников. Там мы показали, что общее движение этой системы можно рассматривать как суперпозицию двух типов гармонических движений с различными частотами, так что даже такую систему можно рассматривать с точки зрения собственных гармоник. В струне возбуждается бесконечное число собственных гармоник, у двумерной поверхности их тоже бесконечно много. В каком-то смысле здесь получается даже двойная бесконечность (если бы мы только знали, как работать с бесконечностями!). Но в простом механическом устройстве, обладающем только двумя степенями свободы и требующем для своего описания лишь двух переменных, возбуждаются всего две гармоники.

Попробуем найти математически эти две гармоники для случая, когда длины маятников одинаковы. Пусть отклонение одного маятника будет х, а другого — y, как это показано на фиг. 49.5.

Фиг. 49.5. Два связанных маятника.

При отсутствии пружины сила тяжести, действующая на первый маятник, пропорциональна его отклонению. Если бы здесь не было пружины, то для одного маятника появилась бы некоторая собственная частота ω₀, а уравнение движения в этом случае приобрело бы вид

(49.13)

Второй маятник при отсутствии пружины качался бы точно так же, как и первый. Однако при наличии пружины в дополнение к восстанавливающей силе, возникающей в результате гравитации, появляется еще добавочная сила от пружины, которая стремится «стянуть» маятники. Эта сила зависит от превышения отклонения х над отклонением у и пропорциональна их разности, т. е. она равна некоторой постоянной, зависящей только от геометрии, умноженной на (х-у). Та же сила, но в обратном направлении действует на второй маятник. Поэтому уравнения движения, которые мы должны решить, будут следующими:

(49.14)

Чтобы найти движение, при котором оба маятника колеблются с одинаковой частотой, мы должны определить, насколько отклоняется каждый из них. Другими словами, маятник А и маятник В будут колебаться с одинаковой частотой и с какими-то амплитудами А и B, отношение которых фиксировано. Давайте проверим, насколько подходит такое решение:

(49.15)

Если подставить его в уравнения (49.14) и собрать подобные члены, то получим

(49.16)

При выводе этих уравнений мы сократили общий множитель еⁱωt и разделили все на m.

Теперь мы видим, что получились два уравнения для, казалось бы, двух неизвестных. Однако на самом деле здесь не два неизвестных, ибо общие масштабы движения нельзя найти из этих уравнений. Они могут дать нам только отношение А к В, причем оба уравнения должны дать одинаковую величину. Требование согласованности уравнений друг с другом накладывает требование на частоту: она должна быть какой-то очень специальной.

Но найти частоту в этом частном случае довольно легко. Если перемножить оба уравнения, то мы получим

(49.17)

В обеих сторонах можно сократить произведение АВ, за исключением тех случаев, когда либо А, либо В равно нулю, что означает отсутствие движения вообще. Но если движение есть, то должны быть равны между собой и другие сомножители, что приводит к квадратному уравнению. В результате получаются две возможные частоты:

(49.18)

Более того, если подставить эти значения частот снова в уравнения (49.16), то для первой частоты мы получим А=В, т. е. пружина вообще не будет растягиваться и оба маятника колеблются с частотой ω₀, как если бы пружины вообще не было. В другом решении, когда А=-В, пружина увеличивает восстанавливающую силу и частота возрастает. Более интересен случай, когда маятники имеют различные длины. Анализ этого случая, который очень похож на то, что мы недавно проделали, рекомендуем в качестве упражнения провести самим читателям.

§ 5. Линейные системы

Давайте теперь подытожим рассмотренные выше идеи, которые все являются аспектами, по-видимому, наиболее общего и удивительного принципа математической физики. Если у нас есть линейная система, характеристики которой не зависят от времени, то движение ее, вообще говоря, не обязано быть каким-то особенно простым. На самом деле оно может быть чрезвычайно сложным, однако существуют такие особые движения (обычно их целый ряд), при которых форма колебания синусоидально зависит от времени. Для колеблющихся систем, о которых сейчас шла речь, мы обычно получали мнимую экспоненту, но вместо того, чтобы сказать «экспоненциально», я предпочел сказать «синусоидально». Однако если стремиться к большей общности, то нужно говорить о каких-то особых движениях, очень специальной формы, изменяющихся экспоненциально со временем. Наиболее общее движение систем всегда можно представить в виде суперпозиции движений, включающих каждую из различных экспонент.