Том 13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики

Первое правило для оценки числа элементов генеральной совокупности может быть таким: общее число элементов в два раза больше среднего значения минус 1. Например, если генеральная совокупность состоит из 10 элементов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10, то среднее значение будет равно 5,5, а общее число элементов — 2·5,5–1. Если x¯ — среднее значение генеральной совокупности из N последовательных чисел, начинающихся с 1, то всегда выполняется следующее соотношение:

N = 2x¯— 1

Если мы применим эту формулу к вышеприведенным данным о выборке, получим, что ее среднее значение равно 21,2, а примерное число элементов генеральной совокупности составит 2·21,2–1  41. Эта оценка очень близка к той, что мы предположили изначально.

Однако эта формула имеет один очень важный недостаток. Предположим, даны числа 3, 4, 6 и 15. Их среднее значение равно 7, а оценка общего числа элементов равна 13. Это очевидно неверно, так как выборка содержит число 15, следовательно, генеральная совокупность содержит минимум 15 элементов. Забавно, что результаты, полученные с помощью сложных методов, нередко противоречат элементарному здравому смыслу. Нужен иной способ. В действительности, чтобы определить общее число элементов совокупности в нашем примере, достаточно знать, сколько значений больше 35.

Достаточно разумный вариант — руководствуясь соображениями симметрии, предположить, что после последнего элемента находится столько же элементов, сколько перед первым. В нашем примере мы сложим 7 и 35 и получим примерное число элементов генеральной совокупности — 42. Этот метод неудобен тем, что мы не учитываем элементы, расположенные между элементами выборки. Между тем всегда следует использовать всю доступную информацию. Для этого мы добавим к последнему значению в выборке среднее расстояние между элементами выборки (первое расстояние будет равно числу элементов совокупности перед первым элементом выборки).

В нашем случае это среднее расстояние будет равно:

(7 + 5 + 7 + 4 + 7)/5 = 6

Следовательно, оценка общего числа элементов совокупности равна 41. Пусть х₁, x₂…, х_n — значения, расположенные на 1, 2, n-м местах. В этом случае среднее расстояние, которое нужно прибавить, будет вычисляться по формуле:

Нетрудно видеть, что эта формула равносильна следующей:

(x_n/n) — 1

Следовательно, более точную оценку общего числа элементов генеральной совокупности можно вычислить по формуле:

Насколько точна эта оценка? С помощью методов математической статистики можно доказать, что она является максимально точной из возможных. На языке специалистов такая оценка называется равномерно несмещенной оценкой с минимальной дисперсией.

Таким образом, нам достаточно записать номера лицензий 20 такси, прибавить к наибольшему из них его же значение, поделенное на 20, и вычесть 1. В нашем примере, если число лицензий равно 10481 и они пронумерованы последовательными числами, то в 95 % случаев оценка, выполненная по этой формуле, будет лежать в интервале от 9175 до 10990.

Очевидно, что этот метод подходит не только для подсчета числа такси в городах. Его также можно использовать, например, чтобы определить число участников массового забега, если всем им выданы последовательные номера. Службы разведки в прошлом посредством похожих методов оценивали вооружение врага. Мы знаем, что оружие имеет табельный номер, поэтому достаточно каким-то образом заполучить лишь несколько единиц, чтобы оценить общее количество оружия.

Какова доля домохозяйств, подключенных к Интернету?

Сначала нужно уточнить определения: что мы будем считать домохозяйством и подключением к Интернету. Нет смысла производить подробные расчеты, если нам неизвестно точное значение используемых понятий.

В одном газетном заголовке утверждалось, что половину сигарет выкуривают люди с психическими расстройствами. Это звучало так, будто половина курильщиков — ненормальные, что выглядит явным преувеличением. Однако в тексте заметки под психическим расстройством понималась зависимость от какого-либо вещества, поэтому не половину, а почти все сигареты выкуривают люди, страдающие от никотиновой зависимости, следовательно, имеющие «психическое расстройство». Многие слова, которые мы произносим в повседневной жизни, неоднозначны. Одно из таких слов — «семья». Что такое семья? Муж, жена и их дети? А если вместе с ними живут бабушка и дедушка, их следует считать членами семьи? Достаточно странно определять принадлежность человека к семье по тому, в каком доме он живет. Семью можно понимать и в более широком смысле, как, например, на свадьбах, где «семья невесты» и «семья жениха» насчитывают по несколько десятков гостей.

* * *