Том 2. Электромагнетизм и материя

Это уравнение говорит нам, что ∂T/∂x получается из ∂T/∂x' и ∂T/∂y' в точности так же, как х из х' и у' в (2.18). Значит, ∂T/∂x — это x-компонента вектора. Сходные же рассуждения показывают, что ∂T/∂y и ∂T/∂z суть у- и z-компоненты. Стало быть, ∇Т есть на самом деле вектор. Это векторное поле, образованное из скалярного поля Т.

§ 4. Оператор ∇

А сейчас мы проделаем крайне занятную и остроумную вещь — одну из тех, которые так украшают математику. Доказательство того, что gradТ, или ∇T является вектором, не зависит от того, какое скалярное поле мы дифференцируем. Все доводы остались бы в силе, если бы Т было заменено любым скалярным полем. А поскольку уравнения преобразований одинаковы независимо от того, что дифференцируется, то можно Т убрать и уравнение (2.26) заменить операторным уравнением

(2.27)

Как выразился Джинс, мы оставляем операторы «жаждущими продифференцировать что угодно».

Так как сами дифференциальные операторы преобразуются как компоненты векторного поля, то можно назвать их компонентами векторного оператора. Можно написать

(2.28)

это означает, конечно,

(2.29)

Мы абстрагировали градиент от Т — в этом и есть остроумие.

Конечно, вы должны все время помнить, что ∇ — это оператор. Сам по себе он ничего не означает. А если ∇ сам по себе ничего не означает, то что выйдет, если мы градиент помножим на скаляр, например на T, чтобы получилось произведение T∇? (Ведь вектор всегда можно умножить на скаляр.) Это опять ничего не означает. Компонента х этого выражения равна

(2.30)

а это не число, а все еще какой-то оператор. Однако в согласии с алгеброй векторов Т∇ по-прежнему можно называть вектором.

А сейчас помножим ∇ на скаляр с другой стороны. Получится произведение ∇T. В обычной алгебре

(2.31)

но нужно помнить, что операторная алгебра немного отличается от обычной векторной. Надо всегда выдерживать правильный порядок операторов, чтобы их операции имели смысл. Тогда у вас трудностей не возникнет, если вы припомните, что оператор ∇ подчиняется тем же условиям, что и производные. То, что вы дифференцируете, должно быть поставлено справа от ∇ Порядок здесь существен.

Если помнить о порядке, то сразу ясно, что Т∇ — это оператор, а произведение ∇Т — это уже не «жаждущий» оператор, его жажда утолена. Это физическая величина, имеющая смысл. Он представляет собой скорость пространственного изменения Т: x-компонента ∇Т показывает, насколько быстро Т изменяется в x-направлении. А куда направлен вектор ∇Т? Мы знаем, что скорость изменения Т в каком-то направлении — это компонента ∇Т в этом направлении [см. (2.15)]. Отсюда следует, что направление ∇Т — это то, по которому ∇Т обладает самой длинной проекцией; иными словами, то, по которому ∇Т меняется быстрее всего. Направление градиента Т — это направление быстрейшего подъема величины Т.

§ 5. Операции с ∇

Можно ли с векторным оператором ∇ производить другие алгебраические действия? Попробуем скомбинировать его с вектором. Из двух векторов можно составить скалярное произведение, причем двоякого рода:

Первое выражение пока что ничего не означает — это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он будет действовать. А второе произведение — это некое скалярное поле (потому что А·В — всегда скаляр).

Попробуем составить скалярное произведение ∇ на известное поле, скажем на h. Распишем покомпонентно

(2.32)

или

(2.33)

Эта сумма инвариантна относительно преобразования координат. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы[5]

(2.34)

а это — то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т. е.

(2.35)

в любой точке пространства. Итак, ∇·h — это скалярное поле, и оно должно представить собой некоторую физическую величину. Вы должны понимать, что комбинация производных в ∇·h имеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем dh_y/dx, которые не являются ни скалярами, ни компонентами векторов.

Скалярная величина ∇·(Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,

(2.36)

Можно было бы, как и для ∇T, описать физический смысл ∇·h. Но мы отложим это до лучших времен.

Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора ∇. Как насчет векторного произведения? Можно надеяться, что

(2.37)

Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обычным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:

(2.38)

Подобно этому,

(2.39)

и

(2.40)

Комбинацию ∇×h называют «ротор» (пишут rot h), или (редко) «вихрь h» (пишут curl h). Происхождение этого названия и физический смысл комбинации мы обсудим позже.

В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит ∇:

Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.