Том 2. Электромагнетизм и материя

В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля А) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Это легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что А будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор А с необходимостью обратится в нуль. Имеется интересная теорема, утверждающая, что если ротор А есть нуль, то тогда А непременно окажется чьим-то градиентом; существует некоторое скалярное поле ψ (пси), такое, что A=gradψ. Иными словами, справедлива

ТЕОРЕМА

(2.50)

Сходная теорема формулируется и для случая, когда дивергенция А есть нуль. Из уравнения (2.49) видно, что дивергенция ротора любой величины равна всегда нулю. Если вам случайно встретилось векторное поле D, для которого div D — нуль, то вы имеете право заключить, что D это ротор некоторого векторного поля С.

ТЕОРЕМА

(2.51)

Перебирая всевозможные сочетания двух операторов ∇, мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию ∇·(∇T), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты

Далее,

(2.52)

что может, вообще говоря, быть любым числом. Это скалярное поле.

Вы видите, что скобок можно не ставить, а вместо этого писать, не рискуя ошибиться:

(2.53)

Можно рассматривать ∇² как новый оператор. Это скалярный оператор. Так как он в физике встречается часто, ему дали особое имя — лапласиан.

(2.54)

Раз оператор лапласиана —оператор скалярный, он может действовать и на вектор. Под этим мы подразумеваем, что он применяется к каждой компоненте вектора

Рассмотрим еще одну возможность: ∇×(∇×h) [(д) в списке (2.45)]. Ротор от ротора можно написать иначе, если использовать векторное равенство (2.6)

(2.55)

Заменим в этой формуле А и В оператором ∇ и положим C=h. Получится

Погодите-ка! Здесь что-то не так. Как и положено, первые два члена — векторы (операторы утолили свою жажду), но последний член совсем не такой. Он все еще оператор. Ошибка в том, что мы не были осторожны и не выдержали нужного порядка членов. Вернувшись обратно, вы увидите, что (2.55) можно с равным успехом записать в виде

(2.56)

Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу подстановку в (2.56). Получится

(2.57)

С этой формулой уже все в порядке. Она действительно правильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. Последний член — это лапласиан, так что с равным успехом можно написать

(2.58)

Из нашего списка (2.45) двойных ∇ мы разобрали все комбинации, кроме (в), ∇(∇·h). В ней есть смысл, это — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое может случайно возникнуть в каком-нибудь расчете.

Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:

(2.59)

Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый векторный оператор ∇×∇. Понимаете, почему?

§ 8. Подвохи

Мы применили наши знания обычной векторной алгебры к алгебре оператора ∇. Здесь нужно быть осторожным, иначе легко напутать. Нужно упомянуть о двух подвохах (впрочем, в нашем курсе они не встретятся). Что можете вы сказать о следующем выражении, куда входят две скалярные функции ψ и φ (фи):

Вы можете подумать, что это нуль, потому что оно похоже на

а это всегда равно нулю (векторное произведение двух одинаковых векторов А×А всегда нуль). Но в нашем примере два оператора ∇ отнюдь не одинаковы! Первый действует на одну функцию, ψ, а второй — на другую, φ. И хотя мы изображаем их одним и тем же значком ∇, они все же должны рассматриваться как разные операторы. Направление ∇ψ зависит от функции ψ, а направление ∇φ — от функции φ, так что они не обязаны быть параллельными:

К счастью, к таким выражениям мы прибегать не будем. (Но сказанное нами не меняет того факта, что ∇φ×∇ψ=0 в любом скалярном поле: здесь обе ∇ действуют на одну и ту же функцию.) Подвох номер два (он тоже в нашем курсе не встретится): правила, которые мы здесь наметили, выглядят просто и красиво только в прямоугольных координатах. Например, если мы хотим написать x-компоненту выражения ∇²h, то сразу пишем

(2.60)

Но это выражение не годится, если мы ищем радиальную компоненту ∇²h. Она не равна ∇²h_r. Дело в том, что в алгебре векторов все их направления полностью определены. А когда мы имеем дело с векторными полями, то их направления в разных местах различны. Когда мы пробуем описать векторное поле, например, в полярных координатах, то «радиальное» направление меняется от точки к точке. И начав дифференцировать компоненты, вы запросто можете попасть в беду. Даже в постоянном векторном поле радиальная компонента от точки к точке меняется.