Том 2. Электромагнетизм и материя

Обычно безопаснее и проще всего держаться прямоугольных координат. Но стоит упомянуть и одно исключение: поскольку лапласиан ∇² есть скаляр, то можно писать его в любой системе координат (скажем, в полярных координатах). Но так как это дифференциальный оператор, то применять его надо только к векторам с фиксированным направлением компонент, т. е. к заданным в прямоугольных координатах. Итак, расписывая наши векторные дифференциальные уравнения покомпонентно, мы будем предварительно выражать все наши векторные поля через их х-, у-, z-компоненты.

Глава 3 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ

§ 1. Векторные интегралы; криволинейный интеграл от ∇ψ

В предыдущей главе мы видели, что брать производные от поля можно по-разному. Одни приводят к векторным полям; другие — к скалярным. Хотя формул было выведено довольно много, все их можно подытожить одним правилом: операторы ∂/∂x, ∂/∂y и ∂/∂z суть три компоненты векторного оператора ∇. Сейчас нам хотелось бы лучше разобраться в значении производных поля. Тогда мы легче почувствуем смысл векторных уравнений поля.

Мы уже говорили о смысле операции градиента (∇ на скаляр). Обратимся теперь к смыслу операций вычисления дивергенции (расходимости) и ротора (вихря). Толкование этих величин лучше всего сделать на языке векторных интегралов и уравнений, связывающих эти интегралы. Но уравнения эти, к несчастью, нельзя вывести из векторной алгебры при помощи каких-либо легких подстановок, так что вам придется учить их как что-то новое. Одна из этих интегральных формул практически тривиальна, а другие две — нет. Мы выведем их и поясним их смысл. Эти формулы фактически являются математическими теоремами. Они полезны не только для толкования смысла и содержания понятий дивергенции и ротора, но и при разработке общих физических теорий. Для теории полей эти математические теоремы — все равно что теорема о сохранении энергии для механики частиц. Подобные теоремы общего характера очень важны для более глубокого понимания физики. Но вы увидите, что, за немногими простыми исключениями, они мало что дают для решения задач. К счастью, как раз в начале нашего курса многие простые задачи будут решаться именно этими тремя интегральными формулами. Позже, однако, когда задачи станут потруднее, этими простыми методами мы больше обойтись не сможем.

Фиг. 3.1. Иллюстрация уравнения (3.1). Вектор ∇ψ вычисляется на линейном элементе ds.

Мы начнем с той интегральной формулы, куда входит градиент. Мысль, которая содержится в ней, очень проста: раз градиент есть быстрота изменения величины поля, то интеграл от этой быстроты даст нам общее изменение поля. Пусть у нас есть скалярное поле ψ(x, у, z). В двух произвольных точках (1) и (2) функция ψ имеет соответственно значения ψ(1) и ψ(2). [Используется такое удобное обозначение: (2) означает точку (x₂, y₂, z₂), а ψ(2) это то же самое, что ψ(x₂, y₂, z₂).] Если Γ (гамма) — произвольная кривая, соединяющая (1) и (2) (фиг. 3.1), то справедлива

ТЕОРЕМА 1

(3.1)

Интеграл, стоящий здесь, это криволинейный интеграл от (1) до (2) вдоль кривой Γ от скалярного произведения вектора ∇ψ на другой вектор, ds, являющийся бесконечно малым элементом дуги кривой Γ [направленной от (1) к (2)].

Напомним, что мы понимаем под криволинейным интегралом. Рассмотрим скалярную функцию f(x, y, z) и кривую Γ, соединяющую две точки (1) и (2). Отметим на кривой множество точек и соединим их хордами, как на фиг. 3.2. Длина i-й хорды равна Δs_i,-, где i пробегает значения 1, 2, 3,.... Под криволинейным интегралом

подразумевается предел суммы

где f_i — значение функции где-то на i-й хорде. Предел — это то, к чему стремится сумма, когда растет число хорд (разумным образом, чтобы даже наибольшее Δs_i→0).

В нашей теореме (3.1) интеграл означает то же самое, хоть и выглядит чуть по-иному. Вместо f стоит другой скаляр — составляющая ∇ψ в направлении Δs. Если обозначить эту составляющую через (∇ψ)_t, то ясно, что

(3.2)

Интеграл в (3.1) и подразумевает сумму таких членов.

А теперь посмотрим, почему уравнение (3.1) правильно. В гл. 1 мы показали, что составляющая ∇ψ вдоль малого смещения ΔR равна быстроте изменения ψ в направлении ΔR. Рассмотрим хорду кривой Δs от точки (1) до точки а на фиг. 3.2.

Фиг. 3.2. Криволинейный интеграл есть предел суммы.

По нашему определению

(3.3)

Точно так же мы имеем

(3.4)

где, конечно, (∇ψ)₁ означает градиент, вычисленный на хорде Δs₁, а (∇ψ)₂ — градиент, вычисленный на Δs₂. Сложив (3.3) и (3.4), получим

(3.5)

Вы видите, что, продолжая прибавлять такие члены, мы получаем в итоге

(3.6)