Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Давид Гильберт был не единственным, кто отвергал неконструктивные методы. Одновременно с логицизмом и формализмом развивалась еще одна концепция, призванная разрешить парадоксы теории множеств, в которой предполагалось полно стью исключить использование бесконечности. Для интуиционистов все математические объекты были продуктами человеческого разума, следовательно, они могли существовать только в том случае, если их можно было построить. Последователи этого направления различали потенциальную бесконечность, соответствующую множествам, которые можно неограниченно расширять, и актуальную бесконечность, характерную для законченных сущностей. Интуиционисты признавали, что натуральных чисел потенциально бесконечно много, так как к любому конечному множеству вида {0, 1, 2, …, n} можно добавить новые числа, однако нельзя говорить обо всех натуральных числах одновременно. Они также не признавали закон исключенного третьего, согласно которому для любого высказывания истинным обязательно является либо оно само, либо его отрицание. Отвергнув этот закон, сторонники интуиционизма были вынуждены также отвергнуть все математические теоремы, в доказательстве которых он использовался. Сам основоположник интуиционизма, датский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881–1966), был вынужден отвергнуть множество ранее полученных им самим результатов, в которых использовался закон исключенного третьего.

Интуиционисты также хотели избавиться от аксиомы выбора, предложенной Эрнстом Цермело для теории множеств. Согласно этой аксиоме, для данной совокупности множеств, конечной или бесконечной, можно выбрать по одному элементу из каждого множества и таким образом определить новое множество. Тем, кто не признавал существование актуальной бесконечности, вряд ли понравился бы подобный способ выбора элементов, который был сродни магии, не подчиняющийся никакому четкому правилу.

В ряде статей, опубликованных с 1904 по 1927 год, Давид Гильберт постепенно уточнял свою стратегию замены всех математических доказательств доказательствами, выполненными с помощью финитных методов. Кульминацией его программы должно было стать максимально строгое и четкое доказательство непротиворечивости арифметики. Однако глава Гёттингенской математической школы не мог и предположить, что некий австрийский юноша, который начал изучать в Венском университете физику, а затем и математику, попытается дополнить формалистскую программу и обнаружит, что мечте Гильберта не суждено сбыться. И более того, соберется доказать это финитными методами!

Глава 4 Теоремы Гёделя

«Когда возникнет противоречие, необходимости в споре между двумя философами будет не более, чем между двумя математиками. Им будет достаточно взять перья и абак и сказать друг другу: произведем вычисления».

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Улицы Кёнигсберга видели многое. В этом городе семь мостов, и жители не раз задавались вопросом: можно ли пройти по всем мостам ровно один раз и при этом вернуться в исходную точку? Этого не мог сделать никто, но и доказать, что это невозможно, также не удавалось, пока в 1735 году швейцарский математик Леонард Эйлер не создал теорию графов и не дал отрицательный ответ на этот вопрос.

Сорок лет спустя Иммануил Кант гулял по тем же мостам, пытаясь определить пределы чистого разума. Давид Гильберт также родился возле Кёнигсберга, и у общества сторонников эмпирической философии было достаточно причин, чтобы совместно с Венским кружком именно в этом городе провести конференцию с 5 по 7 сентября 1930 года.

Схема решения задачи о кёнигсбергских мостах, принадлежащего Леонарду Эйлеру.

Целью конференции было определить, в какой степени в первые годы XX века удалось справиться с кризисом, вызванным парадоксом Рассела. Докладчиками на пленарном заседании стали те, кто внес наибольший вклад в развитие трех направлений, призванных разрешить кризис: логицизма, сторонники которого считали, что всю математику можно свести к логике; формализма, успехи которого заключались в проведении различий между языком и метаязыком; и интуицизма, в рамках которого предпринималась попытка исключить бесконечность из математики. Также в программу входили доклады участников, желавших представить свои последние открытия, и непринужденные беседы в городских кафе, которые, хотя и не могли сравниться с венскими, но тоже были весьма уютными.