Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Внимательный читатель, задавшись этим вопросом и прочитав предыдущий абзац, возможно, подумал, что автор запутался и не совсем четко представляет, о какой системе идет речь. С удовольствием сообщаем, что читатель самостоятельно пришел к важнейшему вопросу, на который до Гёделя никто не мог дать ответ. Наши рассуждения показывают, что утверждение «я недоказуемо» должно быть истинным, однако здесь речь идет не о математическом высказывании, как нам бы того ни хотелось, но о метаматематическом, так как в нем говорится не об объектах изучения какой-либо теории, а о самой теории. Гениальность Геделя заключалась в том, что он перевел некоторые высказывания с метаязыка на язык арифметики благодаря системе кодов, в основе которой лежали простые числа. После этой «гёделизации» метаматематики натуральные числа стали вести двойную жизнь: с одной стороны, они остались неизменными, с другой — стали играть роль формул, что позволило выразить высказывание вида «я недоказуемо», которое априори имело смысл в метаязыке, в виде отношения между числами.

Более подробное описание гёделевской нумерации будет приведено дальше, а пока мы укажем, что с ее помощью в арифметике можно найти утверждение, эквивалентное высказыванию «я недоказуемо». Если бы множество аксиом арифметики S было рекурсивно перечислимым и непротиворечивым, то существовала бы истинная, но недоказуемая формула G_s (мы использовали индекс S, чтобы указать, что эта формула зависит от выбранных нами аксиом и при смене системы аксиом эта формула также изменится). Гёдель поставил всех логиков перед необходимостью сделать выбор либо в пользу полноты, либо в пользу непротиворечивости. И, что было еще хуже, арифметика была не просто неполной — ее полнота была недостижимой. Когда в начале этой книги мы приводили пример с инспектором полиции, который недавно пришел на службу, читатель мог возразить, что его коллеги наверняка узнали бы, женат ли он, продлись разговор немного дольше.

* * *

«ВСЁ, ЧТО НЕ В ВАШЕМ СПИСКЕ»

Рэндел Манро (род. в 1984 году) работал в NASA, пока в 2005 году не обнаружил в себе удивительный талант смешить людей шутками на околонаучные темы. Он начал рисовать комиксы xkcd — «веб-комикс о романтике, сарказме, математике и языке». В его схематичных комиксах часто упоминаются различные понятия физики, математики и информатики. Курт Гёдель становился героем множества историй, однако лучшая из них рассказана в комиксе «Фетиши», приведенном ниже. В нем вы можете видеть трех персонажей, а рисунки поясняет текст:

«Недавно писатель Катарина Гейтс попыталась составить таблицу всех сексуальных фетишей. Она понятия не имела, что ту же задумку уже однажды провалили Рассел и Уайтхед».

Один из героев комикса говорит:

— Привет, Гёдель. Мы тут собираем полный список всех фетишей. Скажи, что тебя возбуждает?

— Всё, что не в вашем списке, — отвечает Гёдель.

* * *

Существуют неполные системы, которые перестают быть таковыми, если добавить к ним несколько аксиом. Однако в случае с арифметикой это не так: Гёдель не только привел недоказуемое утверждение G_s, но и доказал, что не имеет смысла включать его в качестве аксиомы, так как, применив аналогичный метод на множестве Т = S + G_s  — множестве аксиом, которое вновь будет непротиворечивым и рекурсивно перечислимым, — мы получим новое истинное, но недоказуемое высказывание G_T. Если отрубить гидре с бесконечным числом голов одну, это не спасет нас от неполноты.