Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Австрийский логик Курт Гёдель был приглашен выступить с тезисами своей докторской диссертации, открывавшей путь к математике, которой подвластно всё. Однако за то время, что прошло с момента защиты диссертации и до начала Кёнигсбергской конференции, Гёдель в своих исследованиях пришел к выводу, что мечте логиков его поколения не суждено сбыться. И хотя он не сказал об этом в своем выступлении, по окончании круглого стола, которым завершалась программа следующего дня конференции, он заявил, что располагает примерами истинных высказываний, которые нельзя доказать исходя из аксиом. Гёдель был подобен главному герою истории, который в финале произведения нашел разгадку с помощью ключа, упомянутого на первых страницах. Его слова застали собравшихся врасплох, поэтому практически не вызвали обсуждения и даже не были зафиксированы в протоколе.

Фотография Кёнигсбергского университета, известного в народе как Альбертина. Около 1900 года.

* * *

ДИАЛОГ ИЗ ФИЛЬМА «УБИЙСТВА В ОКСФОРДЕ»

(РЕЖИССЕР АЛЕКС ДЕ ЛА ИГЛЕСИА, АВТОР СЦЕНАРИЯ ХОРХЕ ГЕРРИКАЭЧЕВАРРИЯ, 2008)

Шелдон: О, я забыл, что говорю с защитником универсальной логики. Вы и полиция верите, что истину можно доказать. Исходя из неких аксиом с помощью корректных рассуждений можно прийти к верному выводу, не так ли?

Мартин: Это верно, как верно и то, что сегодня среда.

Шелдон: А что если я скажу «Все британцы лжецы»? Эта фраза будет истинной, ложной или ее нельзя будет доказать?

Мартин: Разумеется, существуют математические высказывания, которые нельзя доказать или опровергнуть исходя из аксиом. Это неразрешимые высказывания.

Шелдон: Именно. Теорема Гёделя о неполноте. Даже в мире чистой математики не все можно доказать.

Мартин: Да, я это знаю, но в нашем случае это не так.

Шелдон: Известно ли вам, что истинное и доказуемое разделяет пропасть, бездна? Мы никогда не узнаем, известны ли нам все данные о каком-либо явлении, при этом любая новая информация может изменить все.

* * *

И все же комментарий скромного юноши в круглых очках мог изменить направление дальнейшего развития всей логики, и это не ускользнуло от внимания некоторых присутствующих. Среди них был Джон фон Нейман, который, благодаря своей легендарной быстроте ума мгновенно понял, что имел в виду Гедель, и попросил его по окончании конференции изложить свои соображения подробнее. Фон Нейман учился с Гильбертом в Гёттингене и даже опубликовал несколько статей под его руководством, однако вскоре он начал сомневаться, что с помощью финитных методов, предложенных формалистами, можно доказать непротиворечивость математики. В юности фон Нейман добился некоторых успехов в разрешении этой проблемы и продолжал работать над ней. Как-то ночью ему приснилось решение, но, попытавшись его записать, математик увидел ошибку в рассуждениях и в итоге решил заняться другими вопросами.

Помимо открытий в области логики, Джон фон Нейман совершил важный вклад в квантовую механику.

Прибыв в Кёнигсберг в качестве приглашенной звезды, Джон фон Нейман вскоре понял, что его затмил актер второго плана, рассказавший о том, что именно могло присниться фон Нейману. Вернувшись домой, давний коллега Гильберта обнаружил, что если рассуждения австрийского математика верны, то непротиворечивость арифметики нельзя доказать в рамках самой арифметики. Фон Нейман сообщил об этом Гёделю 20 ноября 1930 года, всего через три дня после того, как Гёдель отправил в журнал Monatshefte fur Mathematik und Physik рукопись статьи «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем I» с аналогичным выводом. Фон Нейман проникся уважением к своему коллеге, и когда весной 1931 года статья была опубликована, он прервал курс лекций в Берлине, чтобы объяснить важность открытия Гёделя, а 20 лет спустя вспоминал этот момент как «веху, видимую издалека, во времени и пространстве».